Математика, которая мне нравится

Первый день

9.1. В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на . Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на ?

(Н. Агаханов, И. Богданов)

9.2. Вася задумал 8 клеток шахматной доски, никакие две из которых не лежат в одной строке или в одном столбце. За ход Петя выставляет на доску 8 ладей, не бьющих друг друга, а затем Вася указывает все ладьи, стоящие на задуманных клетках. Если количество ладей, указанных Васей на этом ходе, чётно (т.е. 0, 2, 4, 6 или 8), то Петя выигрывает; иначе все фигуры снимаются с доски и Петя делает следующий ход. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть?

(И. Богданов)

9.3. Существует ли треугольник со сторонами и такой, что

(В. Сендеров)

9.4. Равносторонний треугольник вписан в окружность и описан вокруг окружности . На сторонах и выбраны точки и соответственно так, что отрезок касается . Окружность с центром проходит через , а окружность с центром проходит через . Докажите, что окружности и имеют общую точку. >

(А. Акопян, П. Кожевников)

Второй день

9.5. Олег нарисовал пустую таблицу и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все написанных чисел различны, причём из них рациональные, а остальные — иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца (“таблица сложения”). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

(О. Подлипский)

9.6. В остроугольном треугольнике проведены медиана и высота . Перпендикуляр, восстановленный в точке к прямой , пересекает луч в точке . Докажите, что если , то .

(Б. Обухов)

9.7. Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники. Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

(А. Грибалко)

9.8. Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, делящимся на . Докажите, что число, делящееся на , было на одной из карточек уже через день после начала.

(И. Богданов)