9 класс
Первый день
9.1. В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на . Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на
?
(Н. Агаханов, И. Богданов)
9.2. Вася задумал 8 клеток шахматной доски, никакие две из которых не лежат в одной строке или в одном столбце. За ход Петя выставляет на доску 8 ладей, не бьющих друг друга, а затем Вася указывает все ладьи, стоящие на задуманных клетках. Если количество ладей, указанных Васей на этом ходе, чётно (т.е. 0, 2, 4, 6 или 8), то Петя выигрывает; иначе все фигуры снимаются с доски и Петя делает следующий ход. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть?
(И. Богданов)
9.3. Существует ли треугольник со сторонами и
такой, что
(В. Сендеров)
9.4. Равносторонний треугольник вписан в окружность
и описан вокруг окружности
. На сторонах
и
выбраны точки
и
соответственно так, что отрезок
касается
. Окружность
с центром
проходит через
, а окружность
с центром
проходит через
. Докажите, что окружности
и
имеют общую точку. >
(А. Акопян, П. Кожевников)
Второй день
9.5. Олег нарисовал пустую таблицу и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все
написанных чисел различны, причём
из них рациональные, а остальные
— иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца (“таблица сложения”). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?
(О. Подлипский)
9.6. В остроугольном треугольнике проведены медиана
и высота
. Перпендикуляр, восстановленный в точке
к прямой
, пересекает луч
в точке
. Докажите, что если
, то
.
(Б. Обухов)
9.7. Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники. Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.
(А. Грибалко)
9.8. Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, делящимся на . Докажите, что число, делящееся на
, было на одной из карточек уже через день после начала.
(И. Богданов)
Оставьте свой отзыв