9 класс

Первый день

9.1. В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на

    \[3\]

. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на

    \[2016\]

?

(Н. Агаханов, И. Богданов)

9.2. Вася задумал 8 клеток шахматной доски, никакие две из которых не лежат в одной строке или в одном столбце. За ход Петя выставляет на доску 8 ладей, не бьющих друг друга, а затем Вася указывает все ладьи, стоящие на задуманных клетках. Если количество ладей, указанных Васей на этом ходе, чётно (т.е. 0, 2, 4, 6 или 8), то Петя выигрывает; иначе все фигуры снимаются с доски и Петя делает следующий ход. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть?

(И. Богданов)

9.3. Существует ли треугольник со сторонами

    \[x, y\]

и

    \[z\]

такой, что

    \[x^3 + y^3 + z^3 = ( x + y)( y + z)( z + x)\]

?

(В. Сендеров)

9.4. Равносторонний треугольник

    \[ABC\]

вписан в окружность

    \[\Omega\]

и описан вокруг окружности

    \[\omega\]

. На сторонах

    \[AC\]

и

    \[AB\]

выбраны точки

    \[P\]

и

    \[Q\]

соответственно так, что отрезок

    \[PQ\]

касается

    \[\omega\]

. Окружность

    \[\Omega_b\]

с центром

    \[P\]

проходит через

    \[B\]

, а окружность

    \[\Omega_c\]

с центром

    \[Q\]

проходит через

    \[C\]

. Докажите, что окружности

    \[\Omega, \Omega_b\]

и

    \[\Omega_c\]

имеют общую точку. >

(А. Акопян, П. Кожевников)

Второй день

9.5. Олег нарисовал пустую таблицу

    \[50 \times 50\]

и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все

    \[100\]

написанных чисел различны, причём

    \[50\]

из них рациональные, а остальные

    \[50\]

—иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца (“таблица сложения”). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

(О. Подлипский)

9.6. В остроугольном треугольнике

    \[ABC\]

проведены медиана

    \[AM\]

и высота

    \[BH\]

. Перпендикуляр, восстановленный в точке

    \[M\]

к прямой

    \[AM\]

, пересекает луч

    \[HB\]

в точке

    \[K\]

. Докажите, что если

    \[\angle MAC = 30^{\circ}\]

, то

    \[AK = BC\]

.

(Б. Обухов)

9.7. Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники. Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

(А. Грибалко)

9.8. Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, делящимся на

    \[2^{10000}\]

. Докажите, что число, делящееся на

    \[2^{10000}\]

, было на одной из карточек уже через день после начала.

(И. Богданов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение