11 класс

Первый день

11.1. Квадратный трёхчлен $f(x) = ax^2+bx+c$ , не имеющий корней, таков, что коэффициент $b$ рационален, а среди чисел $c$ и $f(c)$ ровно одно иррационально. Может ли дискриминант трехчлена $f(x)$ быть рациональным?

11.2. Положительные числа $x, y$ и $z$ удовлетворяют условию $xyz \ge xy + yz + zx$ . Докажите неравенство $\sqrt{xyz} \ge \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}$ .

11.3. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$ . На отрезке $CL$ выбрана точка $M$ . Касательная в точке $B$ к окружности $\Omega$ , описанной около треугольника $ABC$ , пересекает луч $CA$ в точке $P$ . Касательные в точках $B$ и $M$ к окружности $\Gamma$ , описанной около треугольника $BLM$ , пересекаются в точке $Q$ . Докажите, что прямые $PQ$ и $BL$ параллельны.

11.4. Есть клетчатая доска $2015 \times 2015$ . Дима ставит в $k$ клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата $1500 \times 1500$ . Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем $k$ Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?

Второй день

11.5. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество $A$ , состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных $a$ и $b$ (не обязательно различных и не обязательно лежащих в $A$ ) таких, что $a+b$ лежит в $A$ , число $ab$ также лежит в $A$ . Найдите все полные множества натуральных чисел.

11.6. В пространстве расположены $2016$ сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер — красного цвета, а остальные — зеленого. Каждую точку касания красной и зеленой сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

11.7. По кругу стоят $n$ мальчиков и $n$ девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в $10$ хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в $10$ хороших парах.

11.8. Натуральное число $N$ представляется в виде $N = a_1-a_2 = b_1 - b_2 = c_1 - c_2 = d_1 - d_2$ , где $a_1$ и $a_2$ — квадраты, $b_1$ и $b_2$ — кубы, $c_1$ и $c_2$ — пятые степени, а $d_1$ и $d_2$ — седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел $a_1, b_1, c_1$ и $d_1$ найдутся два равных?