11 класс | Математика, которая мне нравится

11 класс

Первый день

11.1. Квадратный трёхчлен

$f(x) = ax^2+bx+c$

, не имеющий корней, таков, что коэффициент

$b$

рационален, а среди чисел

$c$

и

$f(c)$

ровно одно иррационально. Может ли дискриминант трехчлена

$f(x)$

быть рациональным?

11.2. Положительные числа

$x, y$

и

$z$

удовлетворяют условию

$xyz \ge xy + yz + zx$

. Докажите неравенство

$\sqrt{xyz} \ge \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}$

.

11.3. В треугольнике

$ABC$

проведена биссектриса

$BL$

. На отрезке

$CL$

выбрана точка

$M$

. Касательная в точке

$B$

к окружности

$\Omega$

, описанной около треугольника

$ABC$

, пересекает луч

$CA$

в точке

$P$

. Касательные в точках

$B$

и

$M$

к окружности

$\Gamma$

, описанной около треугольника

$BLM$

, пересекаются в точке

$Q$

. Докажите, что прямые

$PQ$

и

$BL$

параллельны.

11.4. Есть клетчатая доска

$2015 \times 2015$

. Дима ставит в

$k$

клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата

$1500 \times 1500$

. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем

$k$

Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?

Второй день

11.5. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество

$A$

, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных

$a$

и

$b$

(не обязательно различных и не обязательно лежащих в

$A$

) таких, что

$a+b$

лежит в

$A$

, число

$ab$

также лежит в

$A$

. Найдите все полные множества натуральных чисел.

11.6. В пространстве расположены

$2016$

сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер — красного цвета, а остальные — зеленого. Каждую точку касания красной и зеленой сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

11.7. По кругу стоят

$n$

мальчиков и

$n$

девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в

$10$

хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в

$10$

хороших парах.

11.8. Натуральное число

$N$

представляется в виде

$N = a_1-a_2 = b_1 - b_2 = c_1 - c_2 = d_1 - d_2$

, где

$a_1$

и

$a_2$

— квадраты,

$b_1$

и

$b_2$

— кубы,

$c_1$

и

$c_2$

— пятые степени, а

$d_1$

и

$d_2$

— седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел

$a_1, b_1, c_1$

и

$d_1$

найдутся два равных?

Комментарии (RSS) | Трекбек

Оставьте свой отзыв

Навигация по сайту
открыть все | закрыть все
Разделы
Новые комментарии
Хороший книжный магазин

Абитуриентам
Студентам
Специалистам
Подписка на обновления сайта

RSS-подписка

Введите Ваш e-mail:
Твиттер

Follow @kea1969