11 класс

Первый день

11.1. Квадратный трёхчлен f(x) = ax^2+bx+c, не имеющий корней, таков, что коэффициент b рационален, а среди чисел c и f(c) ровно одно иррационально. Может ли дискриминант трехчлена f(x) быть рациональным?

11.2. Положительные числа x, y и z удовлетворяют условию xyz \ge xy + yz + zx. Докажите неравенство \sqrt{xyz} \ge \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}.

11.3. В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На отрезке CL выбрана точка M. Касательная в точке B к окружности \Omega, описанной около треугольника ABC, пересекает луч CA в точке P. Касательные в точках B и M к окружности \Gamma, описанной около треугольника BLM, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые PQ и BL параллельны.

11.4. Есть клетчатая доска 2015 \times 2015. Дима ставит в k клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата 1500 \times 1500. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем k Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?

Второй день

11.5. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A) таких, что a+b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел.

11.6. В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер —  красного цвета, а остальные — зеленого. Каждую точку касания красной и зеленой сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

11.7. По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.

11.8. Натуральное число N представляется в виде N = a_1-a_2 = b_1 – b_2 = c_1 – c_2 = d_1 – d_2, где a_1 и a_2 — квадраты, b_1 и b_2 — кубы, c_1 и c_2 — пятые степени, а d_1 и d_2 — седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел a_1, b_1, c_1 и d_1 найдутся два равных?

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение