11 класс

Первый день

11.1. Квадратный трёхчлен

    \[f(x) = ax^2+bx+c\]

, не имеющий корней, таков, что коэффициент

    \[b\]

рационален, а среди чисел

    \[c\]

и

    \[f(c)\]

ровно одно иррационально. Может ли дискриминант трехчлена

    \[f(x)\]

быть рациональным?

11.2. Положительные числа

    \[x, y\]

и

    \[z\]

удовлетворяют условию

    \[xyz \ge xy + yz + zx\]

. Докажите неравенство

    \[\sqrt{xyz} \ge \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}\]

.

11.3. В треугольнике

    \[ABC\]

проведена биссектриса

    \[BL\]

. На отрезке

    \[CL\]

выбрана точка

    \[M\]

. Касательная в точке

    \[B\]

к окружности

    \[\Omega\]

, описанной около треугольника

    \[ABC\]

, пересекает луч

    \[CA\]

в точке

    \[P\]

. Касательные в точках

    \[B\]

и

    \[M\]

к окружности

    \[\Gamma\]

, описанной около треугольника

    \[BLM\]

, пересекаются в точке

    \[Q\]

. Докажите, что прямые

    \[PQ\]

и

    \[BL\]

параллельны.

11.4. Есть клетчатая доска

    \[2015 \times 2015\]

. Дима ставит в

    \[k\]

клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата

    \[1500 \times 1500\]

. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем

    \[k\]

Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?

Второй день

11.5. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество

    \[A\]

, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных

    \[a\]

и

    \[b\]

(не обязательно различных и не обязательно лежащих в

    \[A\]

) таких, что

    \[a+b\]

лежит в

    \[A\]

, число

    \[ab\]

также лежит в

    \[A\]

. Найдите все полные множества натуральных чисел.

11.6. В пространстве расположены

    \[2016\]

сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер —  красного цвета, а остальные — зеленого. Каждую точку касания красной и зеленой сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

11.7. По кругу стоят

    \[n\]

мальчиков и

    \[n\]

девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в

    \[10\]

хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в

    \[10\]

хороших парах.

11.8. Натуральное число

    \[N\]

представляется в виде

    \[N = a_1-a_2 = b_1 - b_2 = c_1 - c_2 = d_1 - d_2\]

, где

    \[a_1\]

и

    \[a_2\]

— квадраты,

    \[b_1\]

и

    \[b_2\]

— кубы,

    \[c_1\]

и

    \[c_2\]

— пятые степени, а

    \[d_1\]

и

    \[d_2\]

— седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел

    \[a_1, b_1, c_1\]

и

    \[d_1\]

найдутся два равных?

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение