11 класс

Первый день

11.1. Квадратный трёхчлен f(x) = ax^2+bx+c , не имеющий корней, таков, что коэффициент рационален, а среди чисел и f(c) ровно одно иррационально. Может ли дискриминант трехчлена f(x) быть рациональным?

11.2. Положительные числа x, y и удовлетворяют условию $xyz \ge xy + yz + zx$ . Докажите неравенство $\sqrt{xyz} \ge \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}$ .

11.3. В треугольнике ABC проведена биссектриса . На отрезке выбрана точка . Касательная в точке к окружности $\Omega$ , описанной около треугольника ABC , пересекает луч в точке . Касательные в точках и к окружности $\Gamma$ , описанной около треугольника BLM , пересекаются в точке . Докажите, что прямые и параллельны.

11.4. Есть клетчатая доска $2015 \times 2015$ . Дима ставит в клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата $1500 \times 1500$ . Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?

Второй день

11.5. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество , состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных и (не обязательно различных и не обязательно лежащих в ) таких, что a+b лежит в , число также лежит в . Найдите все полные множества натуральных чисел.

11.6. В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер — красного цвета, а остальные — зеленого. Каждую точку касания красной и зеленой сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

11.7. По кругу стоят мальчиков и девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в хороших парах.

11.8. Натуральное число представляется в виде N = a_1-a_2 = b_1 – b_2 = c_1 – c_2 = d_1 – d_2 , где a_1 и a_2 — квадраты, b_1 и b_2 — кубы, c_1 и c_2 — пятые степени, а d_1 и d_2 — седьмые степени натуральных чисел. Обязательно ли среди чисел a_1, b_1, c_1 и d_1 найдутся два равных?