10 класс

Первый день

10.1. Даны квадратные трёхчлены $f_1(x), f_2(x),\ldots , f_{100}(x)$ с одинаковыми коэффициентами при x^2 , одинаковыми коэффициентами при , но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена f_i(x) выбрали один корень и обозначили его через x_i . Какие значения может принимать сумма

$f_2(x_1)+f_3(x_2)+\ldots+ f_{100}(x_{99}) + f_1(x_{100})$ ?

10.2. Петя выбрал последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на 2016 ?

10.3. На стороне выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки и (точка лежит между и ), а на стороне взяты точки и (точка между и ). Известно, что AK = KN = DN и BL = BC = CM . Докажите, что если BCNK — вписанный четырехугольник, то и ADML тоже вписан.

10.4. Дана клетчатая таблица $100 \times 100$ , клетки которой покрашены в чёрный и белый цвета. При этом во всех столбцах поровну чёрных клеток, в то время как во всех строках разные количества чёрных клеток. Каково максимальное возможное количество пар соседних по стороне разноцветных клеток?

Второй день

10.5. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество , состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных и (не обязательно различных и не обязательно лежащих в ) таких, что a+b лежит в , число также лежит в . Найдите все полные множества натуральных чисел.

10.6. Внутри равнобокой трапеции ABCD с основаниями и расположена окружность $\omega$ с центром , касающаяся отрезков AB, CD и . Окружность, описанная около треугольника BIC , вторично пересекает сторону в точке . Докажите, что прямая касается окружности $\omega$ .

10.7. По кругу стоят мальчиков и девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в хороших парах.