10 класс

Первый день

10.1. Даны квадратные трёхчлены $f_1(x), f_2(x),\ldots , f_{100}(x)$ с одинаковыми коэффициентами при $x^2$ , одинаковыми коэффициентами при $x$ , но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена $f_i(x)$ выбрали один корень и обозначили его через $x_i$ . Какие значения может принимать сумма

$f_2(x_1)+f_3(x_2)+\ldots+ f_{100}(x_{99}) + f_1(x_{100})?$

10.2. Петя выбрал $10$ последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на $2016$ ?

10.3. На стороне $AB$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ взяты точки $K$ и $L$ (точка $K$ лежит между $A$ и $L$ ), а на стороне $CD$ взяты точки $M$ и $N$ (точка $M$ между $C$ и $N$ ). Известно, что $AK = KN = DN$ и $BL = BC = CM$ . Докажите, что если $BCNK$ — вписанный четырехугольник, то и $ADML$ тоже вписан.

10.4. Дана клетчатая таблица $100 \times 100$ , клетки которой покрашены в чёрный и белый цвета. При этом во всех столбцах поровну чёрных клеток, в то время как во всех строках разные количества чёрных клеток. Каково максимальное возможное количество пар соседних по стороне разноцветных клеток?

Второй день

10.5. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество $A$ , состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных $a$ и $b$ (не обязательно различных и не обязательно лежащих в $A$ ) таких, что $a+b$ лежит в $A$ , число $ab$ также лежит в $A$ . Найдите все полные множества натуральных чисел.

10.6. Внутри равнобокой трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ расположена окружность $\omega$ с центром $I$ , касающаяся отрезков $AB, CD$ и $DA$ . Окружность, описанная около треугольника $BIC$ , вторично пересекает сторону $AB$ в точке $E$ . Докажите, что прямая $CE$ касается окружности $\omega$ .

10.7. По кругу стоят $n$ мальчиков и $n$ девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в $10$ хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в $10$ хороших парах.