10 класс
Первый день
10.1. Даны квадратные трёхчлены с одинаковыми коэффициентами при
, одинаковыми коэффициентами при
, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена
выбрали один корень и обозначили его через
. Какие значения может принимать сумма
10.2. Петя выбрал последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на
?
10.3. На стороне выпуклого четырехугольника
взяты точки
и
(точка
лежит между
и
), а на стороне
взяты точки
и
(точка
между
и
). Известно, что
и
. Докажите, что если
— вписанный четырехугольник, то и
тоже вписан.
10.4. Дана клетчатая таблица , клетки которой покрашены в чёрный и белый цвета. При этом во всех столбцах поровну чёрных клеток, в то время как во всех строках разные количества чёрных клеток. Каково максимальное возможное количество пар соседних по стороне разноцветных клеток?
Второй день
10.5. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество , состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных
и
(не обязательно различных и не обязательно лежащих в
) таких, что
лежит в
, число
также лежит в
. Найдите все полные множества натуральных чисел.
10.6. Внутри равнобокой трапеции с основаниями
и
расположена окружность
с центром
, касающаяся отрезков
и
. Окружность, описанная около треугольника
, вторично пересекает сторону
в точке
. Докажите, что прямая
касается окружности
.
10.7. По кругу стоят мальчиков и
девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в
хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в
хороших парах.
10.8. Найдите все пары различных действительных чисел и
такие, что
и
.
Оставьте свой отзыв