10 класс

Первый день

10.1. Даны квадратные трёхчлены

$f_1(x), f_2(x),\ldots , f_{100}(x)$

с одинаковыми коэффициентами при

$x^2$

, одинаковыми коэффициентами при

$x$

, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена

$f_i(x)$

выбрали один корень и обозначили его через

$x_i$

. Какие значения может принимать сумма

$f_2(x_1)+f_3(x_2)+\ldots+ f_{100}(x_{99}) + f_1(x_{100})$

10.2. Петя выбрал

$10$

последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на

$2016$

10.3. На стороне

$AB$

выпуклого четырехугольника

$ABCD$

взяты точки

$K$

$L$

(точка

$K$

лежит между

$A$

$L$

), а на стороне

$CD$

взяты точки

$M$

$N$

(точка

$M$

между

$C$

$N$

). Известно, что

$AK = KN = DN$

$BL = BC = CM$

. Докажите, что если

$BCNK$

— вписанный четырехугольник, то и

$ADML$

тоже вписан.

10.4. Дана клетчатая таблица

$100 \times 100$

, клетки которой покрашены в чёрный и белый цвета. При этом во всех столбцах поровну чёрных клеток, в то время как во всех строках разные количества чёрных клеток. Каково максимальное возможное количество пар соседних по стороне разноцветных клеток?

Второй день

10.5. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество

$A$

, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных

$a$

$b$

(не обязательно различных и не обязательно лежащих в

$A$

) таких, что

$a+b$

лежит в

$A$

, число

$ab$

также лежит в

$A$

. Найдите все полные множества натуральных чисел.

10.6. Внутри равнобокой трапеции

$ABCD$

с основаниями

$BC$

$AD$

расположена окружность

$\omega$

с центром

$I$

, касающаяся отрезков

$AB, CD$

$DA$

. Окружность, описанная около треугольника

$BIC$

, вторично пересекает сторону

$AB$

в точке

$E$

. Докажите, что прямая

$CE$

касается окружности

$\omega$

10.7. По кругу стоят

$n$

мальчиков и

$n$

девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в

$10$

хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в

$10$

хороших парах.

10.8. Найдите все пары различных действительных чисел

$x$

$y$