10 класс

Первый день

10.1. Даны квадратные трёхчлены

    \[f_1(x), f_2(x),\ldots ,  f_{100}(x)\]

с одинаковыми коэффициентами при

    \[x^2\]

, одинаковыми коэффициентами при

    \[x\]

, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена

    \[f_i(x)\]

выбрали один корень и обозначили его через

    \[x_i\]

. Какие значения может принимать сумма

    \[f_2(x_1)+f_3(x_2)+\ldots+ f_{100}(x_{99}) + f_1(x_{100})\]

?

10.2. Петя выбрал

    \[10\]

последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на

    \[2016\]

?

10.3. На стороне

    \[AB\]

выпуклого четырехугольника

    \[ABCD\]

взяты точки

    \[K\]

и

    \[L\]

(точка

    \[K\]

лежит между

    \[A\]

и

    \[L\]

), а на стороне

    \[CD\]

взяты точки

    \[M\]

и

    \[N\]

(точка

    \[M\]

между

    \[C\]

и

    \[N\]

). Известно, что

    \[AK = KN = DN\]

и

    \[BL = BC = CM\]

. Докажите, что если

    \[BCNK\]

—  вписанный четырехугольник, то и

    \[ADML\]

тоже вписан.

10.4. Дана клетчатая таблица

    \[100 \times 100\]

, клетки которой покрашены в чёрный и белый цвета. При этом во всех столбцах поровну чёрных клеток, в то время как во всех строках разные количества чёрных клеток. Каково максимальное возможное количество пар соседних по стороне разноцветных клеток?

Второй день

10.5. Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество

    \[A\]

, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных

    \[a\]

и

    \[b\]

(не обязательно различных и не обязательно лежащих в

    \[A\]

) таких, что

    \[a+b\]

лежит в

    \[A\]

, число

    \[ab\]

также лежит в

    \[A\]

. Найдите все полные множества натуральных чисел.

10.6. Внутри равнобокой трапеции

    \[ABCD\]

с основаниями

    \[BC\]

и

    \[AD\]

расположена окружность

    \[\omega\]

с центром

    \[I\]

, касающаяся отрезков

    \[AB, CD\]

и

    \[DA\]

. Окружность, описанная около треугольника

    \[BIC\]

, вторично пересекает сторону

    \[AB\]

в точке

    \[E\]

. Докажите, что прямая

    \[CE\]

касается окружности

    \[\omega\]

.

10.7. По кругу стоят

    \[n\]

мальчиков и

    \[n\]

девочек. Назовем пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в

    \[10\]

хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в

    \[10\]

хороших парах.

10.8. Найдите все пары различных действительных чисел

    \[x\]

и

    \[y\]

такие, что

    \[x^{100}-y^{100} = 2^{99}(x-y)\]

и

    \[x^{200}-y^{200} = 2^{199}(x-y)\]

.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение