9 класс

Первый день

9.1. За круглым столом сидят

    \[2015\]

человек, каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: “Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей”. После этого

    \[k\]

из сидящих сказали: “Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей”. При каком наибольшем

    \[k\]

это могло случиться?

9.2. Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр — простое число. Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

9.3. Правильный треугольник со стороной

    \[3\]

разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа

    \[n, n + 1, \ldots , n + 8\]

. При каких

    \[n\]

он сможет это сделать?

9.4. В неравнобедренном треугольнике

    \[ABC\]

провели биссектрисы угла

    \[ABC\]

и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую

    \[AC\]

в точках

    \[B_1\]

и

    \[B_2\]

соответственно. Из точек

    \[B_1\]

и

    \[B_2\]

провели касательные к окружности, вписанной в треугольник

    \[ABC\]

, отличные от прямой

    \[AC\]

. Они касаются этой окружности в точках

    \[K_1\]

и

    \[K_2\]

соответственно. Докажите, что точки

    \[B, K_1\]

и

    \[K_2\]

лежат на одной прямой.

Второй день

9.5. После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от

    \[0\]

до

    \[10\]

. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени

    \[T\]

рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента

    \[T\]

?

9.6. Дан прямоугольный треугольник

    \[ABC\]

с прямым углом

    \[C\]

. Пусть

    \[BK\]

 — биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника

    \[AKB\]

, пересекает вторично сторону

    \[BC\]

в точке

    \[L\]

. Докажите, что

    \[CB + CL = AB\]

.

9.7. Числа

    \[a, b, c\]

и

    \[d\]

таковы, что

    \[a^2+b^2+c^2+d^2 = 4\]

. Докажите, что

    \[(2 + a)(2 + b) \ge  cd\]

.

Показать решение

9.8. Петя хочет выписать все возможные последовательности из

    \[100\]

натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на

    \[1\]

. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

Один комментарий

  1. 1 Marlen:

    9.7 задача,есть решение?

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение