Математика, которая мне нравится

Первый день

11.1. Целые числа таковы, что

Докажите, что .

11.2. На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от до детей. Дед Мороз выбирал одного ребенка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?

11.3. Продолжения медиан и треугольника пересекают его описанную окружность в точках и соответственно. Оказалось, что площади треугольников и равны. Докажите, что треугольник равносторонний.

11.4. Положительные числа удовлетворяют соотношению . Докажите, что

Показать решение

Второй день

11.5. Квадратный трехчлен имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел и верно неравенство . Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена — отрицательный.

Показать решение

11.6. Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)

11.7. По кругу расставлено положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей?

11.8. Петя хочет выписать все возможные последовательности из натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается число или , а любые два соседних члена различаются не больше, чем на . Сколько последовательностей ему придётся выписать?