11 класс

Первый день

11.1. Целые числа a, x_1, x_2,\ldots , x_{13} таковы, что

a = (1+x_1)(1+x_2) \ldots (1+x_{13}) = (1-x_1)(1-x_2) \ldots (1-x_{13}).

Докажите, что ax_1x_2\ldots x_{13} = 0.

11.2. На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребенка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?

11.3. Продолжения медиан AA_1, BB_1 и CC_1 треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A_0, B_0 и C_0 соответственно. Оказалось, что площади треугольников ABC_0, AB_0C и A_0BC равны. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

11.4. Положительные числа a, b, c удовлетворяют соотношению ab + bc + ca = 1. Докажите, что

\displaystyle \sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}{b}}+\sqrt{c+\frac{1}{c}}\ge2\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right).

Показать решение

Второй день

11.5. Квадратный трехчлен f(x) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел a и b верно неравенство f(a^2 +b^2) \ge f(2ab). Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена — отрицательный.

Показать решение

11.6. Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)

11.7. По кругу расставлено 300 положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей?

11.8. Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз
встречается число 4 или 5, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 2. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

Комментариев: 7

  1. 1 Александр:

    Есть ли с чем сверить свое решение?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Есть, Вы можете выложить Ваше решение? Или напишите, какая задача Вас интересует.

    [Ответить]

    Марлен Reply:

    есть ответы?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Есть. Какая задача Вам нужна?

    [Ответить]

    Marlen Reply:

    Здравствуйте,11.4 и 11.5

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Держите :-)

    [Ответить]

    Marlen Reply:

    Спасибо огромное..

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение