11 класс

Первый день

11.1. Целые числа

    \[a, x_1, x_2,\ldots , x_{13}\]

таковы, что

    \[a = (1+x_1)(1+x_2) \ldots (1+x_{13}) = (1-x_1)(1-x_2) \ldots (1-x_{13})\]

.

Докажите, что

    \[ax_1x_2\ldots x_{13} = 0\]

.

11.2. На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от

    \[1\]

до

    \[10\]

детей. Дед Мороз выбирал одного ребенка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно

    \[3630\]

способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?

11.3. Продолжения медиан

    \[AA_1, BB_1\]

и

    \[CC_1\]

треугольника

    \[ABC\]

пересекают его описанную окружность в точках

    \[A_0, B_0\]

и

    \[C_0\]

соответственно. Оказалось, что площади треугольников

    \[ABC_0, AB_0C\]

и

    \[A_0BC\]

равны. Докажите, что треугольник

    \[ABC\]

равносторонний.

11.4. Положительные числа

    \[a, b, c\]

удовлетворяют соотношению

    \[ab + bc + ca = 1\]

. Докажите, что

    \[\displaystyle \sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}{b}}+\sqrt{c+\frac{1}{c}}\ge2\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\]

.

Показать решение

Второй день

11.5. Квадратный трехчлен

    \[f(x)\]

имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел

    \[a\]

и

    \[b\]

верно неравенство

    \[f(a^2 +b^2) \ge f(2ab)\]

. Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена — отрицательный.

Показать решение

11.6. Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)

11.7. По кругу расставлено

    \[300\]

положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей?

11.8. Петя хочет выписать все возможные последовательности из

    \[100\]

натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз
встречается число

    \[4\]

или

    \[5\]

, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на

    \[2\]

. Сколько последовательностей ему придётся выписать?

Комментариев: 7

  1. 1 Александр:

    Есть ли с чем сверить свое решение?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Есть, Вы можете выложить Ваше решение? Или напишите, какая задача Вас интересует.

    [Ответить]

    Марлен Reply:

    есть ответы?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Есть. Какая задача Вам нужна?

    [Ответить]

    Marlen Reply:

    Здравствуйте,11.4 и 11.5

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Держите :-)

    [Ответить]

    Marlen Reply:

    Спасибо огромное..

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение