10 класс
Первый день
10.1. Целые числа таковы, что
Докажите, что .
10.2. На плоскости отметили все вершины правильного -угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого
-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге
-угольник разбился на
треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких
по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?
10.3. Пусть — биссектриса треугольника
. Серединный перпендикуляр к отрезку
пересекает окружность, описанную около треугольника
, в точках
и
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника
, касается стороны
.
10.4. Положительные числа удовлетворяют соотношению
. Докажите, что
Второй день
10.5. После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от до
. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени
рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента
?
10.6. Дан прямоугольный треугольник с прямым углом
. Пусть
— биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника
, пересекает вторично сторону
в точке
. Докажите, что
.
10.7. Коэффициенты квадратного трёхчлена
— натуральные числа, сумма которых равна
. Паша может изменить любой коэффициент на
, заплатив
рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более
рублей.
10.8. Дано натуральное число . Рассмотрим все покраски клеток доски
в
цветов такие, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет, и все
цветов встречаются. При каком наименьшем
в любой такой покраске найдутся четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?
1 Marlen:
Есть ответы? 10.4 задача
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 27th, 2016 at 22:45
Смотрите решение для 11 класса. Там такая же задача 11.4.
[Ответить]