10 класс

Первый день

10.1. Целые числа

$a, x_1, x_2,\ldots , x_{13}$

таковы, что

$a = (1+x_1)(1+x_2) \ldots (1+x_{13}) = (1-x_1)(1-x_2) \ldots (1-x_{13})$

Докажите, что

$ax_1x_2\ldots x_{13} = 0$

10.2. На плоскости отметили все вершины правильного

$n$

-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого

$n$

-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге

$n$

-угольник разбился на

$n$

треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких

$n$

по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?

10.3. Пусть

$AL$

биссектриса треугольника

$ABC$

. Серединный перпендикуляр к отрезку

$AL$

пересекает окружность, описанную около треугольника

$ABC$

, в точках

$P$

$Q$

. Докажите, что окружность, описанная около треугольника

$PLQ$

, касается стороны

$BC$

10.4. Положительные числа

$a, b, c$

удовлетворяют соотношению

$ab + bc + ca = 1$

. Докажите, что

$\displaystyle \sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}{b}}+\sqrt{c+\frac{1}{c}}\ge2\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)$

Второй день

10.5. После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от

$0$

до

$10$

. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени

$T$

рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента

$T$

10.6. Дан прямоугольный треугольник

$ABC$

с прямым углом

$C$

. Пусть

$BK$

— биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника

$AKB$

, пересекает вторично сторону

$BC$

в точке

$L$

. Докажите, что

$CB + CL = AB$

10.7. Коэффициенты

$a, b, c$

квадратного трёхчлена

$f(x) = ax^2 + bx + c$

— натуральные числа, сумма которых равна

$2000$

. Паша может изменить любой коэффициент на

$1$

, заплатив

$1$

рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более

$1050$

рублей.

10.8. Дано натуральное число

$n > 2$

. Рассмотрим все покраски клеток доски

$n \times n$

$k$

цветов такие, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет, и все

$k$

цветов встречаются. При каком наименьшем

$k$

в любой такой покраске найдутся четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?

Комментарии (RSS) | Трекбек

Комментариев: 2

1 Marlen:

Есть ответы? 10.4 задача

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 27th, 2016 at 22:45
Смотрите решение для 11 класса. Там такая же задача 11.4.

[Ответить]
19 Январь 2016, 19:49

Математика, которая мне нравится

10 класс

Комментариев: 2

1 Marlen:

Оставьте свой отзыв

Навигация по сайту

Разделы

Новые комментарии

Хороший книжный магазин

Подписка на обновления сайта

Твиттер