10 класс

Первый день

10.1. Целые числа

    \[a, x_1, x_2,\ldots , x_{13}\]

таковы, что

    \[a = (1+x_1)(1+x_2) \ldots (1+x_{13}) = (1-x_1)(1-x_2) \ldots (1-x_{13})\]

.

Докажите, что

    \[ax_1x_2\ldots x_{13} = 0\]

.

10.2. На плоскости отметили все вершины правильного

    \[n\]

-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого

    \[n\]

-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге

    \[n\]

-угольник разбился на

    \[n\]

треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких

    \[n\]

по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?

10.3. Пусть

    \[AL\]

 биссектриса треугольника

    \[ABC\]

. Серединный перпендикуляр к отрезку

    \[AL\]

пересекает окружность, описанную около треугольника

    \[ABC\]

, в точках

    \[P\]

и

    \[Q\]

. Докажите, что окружность, описанная около треугольника

    \[PLQ\]

, касается стороны

    \[BC\]

.

10.4. Положительные числа

    \[a, b, c\]

удовлетворяют соотношению

    \[ab + bc + ca = 1\]

. Докажите, что

    \[\displaystyle \sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}{b}}+\sqrt{c+\frac{1}{c}}\ge2\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\]

.

Второй день

10.5. После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от

    \[0\]

до

    \[10\]

. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени

    \[T\]

рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента

    \[T\]

?

10.6. Дан прямоугольный треугольник

    \[ABC\]

с прямым углом

    \[C\]

. Пусть

    \[BK\]

— биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника

    \[AKB\]

, пересекает вторично сторону

    \[BC\]

в точке

    \[L\]

. Докажите, что

    \[CB + CL = AB\]

.

10.7. Коэффициенты

    \[a, b, c\]

квадратного трёхчлена

    \[f(x) = ax^2 + bx + c\]

— натуральные числа, сумма которых равна

    \[2000\]

. Паша может изменить любой коэффициент на

    \[1\]

, заплатив

    \[1\]

рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более

    \[1050\]

рублей.

10.8. Дано натуральное число

    \[n > 2\]

. Рассмотрим все покраски клеток доски

    \[n \times n\]

в

    \[k\]

цветов такие, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет, и все

    \[k\]

цветов встречаются. При каком наименьшем

    \[k\]

в любой такой покраске найдутся четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?

Комментариев: 2

  1. 1 Marlen:

    Есть ответы? 10.4 задача

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Смотрите решение для 11 класса. Там такая же задача 11.4.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение