10 класс

Первый день

10.1. Целые числа a, x_1, x_2,\ldots , x_{13} таковы, что

a = (1+x_1)(1+x_2) \ldots (1+x_{13}) = (1-x_1)(1-x_2) \ldots (1-x_{13}).

Докажите, что ax_1x_2\ldots x_{13} = 0.

10.2. На плоскости отметили все вершины правильного n-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого n-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге n-угольник разбился на n треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких n по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?

10.3. Пусть AL  биссектриса треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку AL пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точках P и Q. Докажите, что окружность, описанная около треугольника PLQ, касается стороны BC.

10.4. Положительные числа a, b, c удовлетворяют соотношению ab + bc + ca = 1. Докажите, что

\displaystyle \sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}{b}}+\sqrt{c+\frac{1}{c}}\ge2\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right).

Второй день

10.5. После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени T рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента T?

10.6. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть BK — биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника AKB, пересекает вторично сторону BC в точке L. Докажите, что CB + CL = AB.

10.7. Коэффициенты a, b, c квадратного трёхчлена f(x) = ax^2 + bx + c — натуральные числа, сумма которых равна 2000. Паша может изменить любой коэффициент на 1, заплатив 1 рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более 1050 рублей.

10.8. Дано натуральное число n > 2. Рассмотрим все покраски клеток доски n \times n в k цветов такие, что каждая клетка покрашена ровно в один цвет, и все k цветов встречаются. При каком наименьшем k в любой такой покраске найдутся четыре окрашенных в четыре разных цвета клетки, расположенные в пересечении двух строк и двух столбцов?

Комментариев: 2

  1. 1 Marlen:

    Есть ответы? 10.4 задача

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Смотрите решение для 11 класса. Там такая же задача 11.4.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение