9 класс
Первый день
9.1. По кругу расставлены 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500. Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?
(Н. Агаханов)
9.2. В четырёхугольнике стороны
и
параллельны. Докажите, что если биссектрисы углов
,
,
и
образовали ромб, то
.
(Л. Емельянов)
9.3. Учитель записал Пете в тетрадь четыре различных натуральных числа. Для каждой пары этих чисел Петя нашёл их наибольший общий делитель. У него получились шесть чисел: и
, где
. Какое наименьшее значение может иметь число
?
(О. Дмитриев)
9.4. Все клетки квадратной таблицы пронумерованы в некотором порядке числами от
до
. Петя закрашивает клетки по следующим правилам. Вначале он закрашивает
клеток по своему усмотрению. Далее каждым ходом Петя может закрасить одну еще не закрашенную клетку с номером
, если для неё выполнено хотя бы одно из двух условий: либо в одной строке с ней есть уже закрашенная клетка с номером меньшим, чем
; либо в одном столбце с ней есть уже закрашенная клетка с номером большим, чем
. При каком наименьшем
независимо от исходной нумерации Петя за несколько ходов сможет закрасить все клетки таблицы?
(С. Берлов)
Второй день
9.5. Число таково, что среди четырёх чисел
ровно одно не является целым. Найдите все такие
.
(Н. Агаханов)
9.6. Имеются 2013 карточек, на которых написана цифра 1, и 2013 карточек, на которых написана цифра 2. Вася складывает из этих карточек 4026-значное число. За один ход Петя может поменять местами некоторые две карточки и заплатить Васе 1 рубль. Процесс заканчивается, когда у Пети получается число, делящееся на 11. Какую наибольшую сумму может заработать Вася, если Петя стремится заплатить как можно меньше?
(П. Кожевников)
9.7. Дан вписанный четырехугольник . Лучи
и
пересекаются в точке
. Оказалось, что точки
, а также середины отрезков
и
лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол
?
(Г. Жуков)
9.8. Какое из чисел больше: или
? (Напомним, что
.)
(А. Храбров)
1 Казвертеночка:
Здравствуйте!
написано
.
В тексте решения задачи №9.1. у Вас очепятка. Вместо
С ув.
[Ответить]
1 Апрель 2018, 10:35