9 класс

Первый день

9.1. По кругу расставлены 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500. Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?

(Н. Агаханов)

Показать решение

9.2. В четырёхугольнике

    \[ABCD\]

стороны

    \[AD\]

и

    \[BC\]

параллельны. Докажите, что если биссектрисы углов

    \[DAC\]

,

    \[DBC\]

,

    \[ACB\]

и

    \[ADB\]

образовали ромб, то

    \[AB = CD\]

.

(Л. Емельянов)

9.3. Учитель записал Пете в тетрадь четыре различных натуральных числа. Для каждой пары этих чисел Петя нашёл их наибольший общий делитель. У него получились шесть чисел:

    \[1, 2,3, 4, 5\]

и

    \[N\]

, где

    \[N > 5\]

. Какое наименьшее значение может иметь число

    \[N\]

?

(О. Дмитриев)

9.4. Все клетки квадратной таблицы

    \[100\times100\]

пронумерованы в некотором порядке числами от

    \[1\]

до

    \[10000\]

. Петя закрашивает клетки по следующим правилам. Вначале он закрашивает

    \[k\]

клеток по своему усмотрению. Далее каждым ходом Петя может закрасить одну еще не закрашенную клетку с номером

    \[a\]

, если для неё выполнено хотя бы одно из двух условий: либо в одной строке с ней есть уже закрашенная клетка с номером меньшим, чем

    \[a\]

; либо в одном столбце с ней есть уже закрашенная клетка с номером большим, чем

    \[a\]

. При каком наименьшем

    \[k\]

независимо от исходной нумерации Петя за несколько ходов сможет закрасить все клетки таблицы?

(С. Берлов)

Второй день

9.5. Число

    \[x\]

таково, что среди четырёх чисел

    \[x-\sqrt{2}, x-1/x, x+1/x, x^2 + 2\sqrt{2}\]

ровно одно не является целым. Найдите все такие

    \[x\]

.

(Н. Агаханов)

Показать решение

9.6. Имеются 2013 карточек, на которых написана цифра 1, и 2013 карточек, на которых написана цифра 2. Вася складывает из этих карточек 4026-значное число. За один ход Петя может поменять местами некоторые две карточки и заплатить Васе 1 рубль. Процесс заканчивается, когда у Пети получается число, делящееся на 11. Какую наибольшую сумму может заработать Вася, если Петя стремится заплатить как можно меньше?

(П. Кожевников)

9.7. Дан вписанный четырехугольник

    \[ABCD\]

. Лучи

    \[AB\]

и

    \[DC\]

пересекаются в точке

    \[K\]

. Оказалось, что точки

    \[B, D\]

, а также середины отрезков

    \[AC\]

и

    \[KC\]

лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол

    \[ADC\]

?

(Г. Жуков)

9.8. Какое из чисел больше:

    \[(100!)!\]

или

    \[99!100!\cdot 100!99!\]

? (Напомним, что

    \[n! = 1\cdot 2 \cdot \ldots\cdot n\]

.)

(А. Храбров)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение