9 класс

Первый день

9.1. По кругу расставлены 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500. Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?

(Н. Агаханов)

Показать решение

9.2. В четырёхугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны. Докажите, что если биссектрисы углов DAC, DBC, ACB и ADB образовали ромб, то AB = CD.

(Л. Емельянов)

9.3. Учитель записал Пете в тетрадь четыре различных натуральных числа. Для каждой пары этих чисел Петя нашёл их наибольший общий делитель. У него получились шесть чисел: 1, 2,3, 4, 5 и N, где N > 5. Какое наименьшее значение может иметь число N?

(О. Дмитриев)

9.4. Все клетки квадратной таблицы 100\times100 пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до 10000. Петя закрашивает клетки по следующим правилам. Вначале он закрашивает k клеток по своему усмотрению. Далее каждым ходом Петя может закрасить одну еще не закрашенную клетку с номером a, если для неё выполнено хотя бы одно из двух условий: либо в одной строке с ней есть уже закрашенная клетка с номером меньшим, чем a; либо в одном столбце с ней есть уже закрашенная клетка с номером большим, чем a. При каком наименьшем k независимо от исходной нумерации Петя за несколько ходов сможет закрасить все клетки таблицы?

(С. Берлов)

Второй день

9.5. Число x таково, что среди четырёх чисел x-\sqrt{2}, x-1/x, x+1/x, x^2 + 2\sqrt{2} ровно одно не является целым. Найдите все такие x.

(Н. Агаханов)

Показать решение

9.6. Имеются 2013 карточек, на которых написана цифра 1, и 2013 карточек, на которых написана цифра 2. Вася складывает из этих карточек 4026-значное число. За один ход Петя может поменять местами некоторые две карточки и заплатить Васе 1 рубль. Процесс заканчивается, когда у Пети получается число, делящееся на 11. Какую наибольшую сумму может заработать Вася, если Петя стремится заплатить как можно меньше?

(П. Кожевников)

9.7. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке K. Оказалось, что точки B, D, а также середины отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC?

(Г. Жуков)

9.8. Какое из чисел больше: (100!)! или 99!100!\cdot 100!99!? (Напомним, что n! = 1\cdot 2 \cdot \ldots\cdot n.)

(А. Храбров)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение