9 класс

Первый день

9.1. По кругу расставлены 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500. Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?

(Н. Агаханов)

Показать решение

9.2. В четырёхугольнике ABCD стороны и параллельны. Докажите, что если биссектрисы углов DAC , DBC , ACB и ADB образовали ромб, то AB = CD .

(Л. Емельянов)

9.3. Учитель записал Пете в тетрадь четыре различных натуральных числа. Для каждой пары этих чисел Петя нашёл их наибольший общий делитель. У него получились шесть чисел: 1, 2,3, 4, 5 и , где N > 5 . Какое наименьшее значение может иметь число ?

(О. Дмитриев)

9.4. Все клетки квадратной таблицы $100\times100$ пронумерованы в некотором порядке числами от до 10000 . Петя закрашивает клетки по следующим правилам. Вначале он закрашивает клеток по своему усмотрению. Далее каждым ходом Петя может закрасить одну еще не закрашенную клетку с номером , если для неё выполнено хотя бы одно из двух условий: либо в одной строке с ней есть уже закрашенная клетка с номером меньшим, чем ; либо в одном столбце с ней есть уже закрашенная клетка с номером большим, чем . При каком наименьшем независимо от исходной нумерации Петя за несколько ходов сможет закрасить все клетки таблицы?

(С. Берлов)

Второй день

9.5. Число таково, что среди четырёх чисел $x-\sqrt{2}, x-1/x, x+1/x, x^2 + 2\sqrt{2}$ ровно одно не является целым. Найдите все такие .

(Н. Агаханов)

Показать решение

9.6. Имеются 2013 карточек, на которых написана цифра 1, и 2013 карточек, на которых написана цифра 2. Вася складывает из этих карточек 4026-значное число. За один ход Петя может поменять местами некоторые две карточки и заплатить Васе 1 рубль. Процесс заканчивается, когда у Пети получается число, делящееся на 11. Какую наибольшую сумму может заработать Вася, если Петя стремится заплатить как можно меньше?

(П. Кожевников)

9.7. Дан вписанный четырехугольник ABCD . Лучи и пересекаются в точке . Оказалось, что точки B, D , а также середины отрезков и лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC ?