11 класс

Первый день

11.1. Дан выпуклый 7-угольник. Выбираются четыре произвольных его угла и вычисляются их синусы, от остальных трёх углов вычисляются косинусы. Оказалось, что сумма таких семи чисел не зависит от изначального выбора четырёх углов. Докажите, что у этого 7-угольника найдутся четыре равных угла.

(И. Богданов)

11.2. На доске написано выражение

\displaystyle \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\cdot\frac{e}{f},

где a, b, c, d, e, f — натуральные числа. Если число a увеличить на 1, то значение этого выражения увеличится на 3. Если в исходном выражении увеличить число c на 1, то его значение увеличится на 4; если же в исходном выражении увеличить число e на 1, то его значение увеличится на 5. Какое наименьшее значение может иметь произведение bdf?

(Н. Агаханов)

Показать решение

11.3. Все клетки квадратной таблицы n\times n пронумерованы в некотором порядке числами от 1 до n^2. Петя делает ходы по следующим правилам. Первым ходом он ставит ладью в любую клетку. Каждым последующим ходом Петя может либо поставить новую ладью на какую-то клетку, либо переставить ладью из клетки с номером a ходом по горизонтали или по вертикали в клетку с номером большим, чем a. Каждый раз, когда ладья попадает в клетку, эта клетка немедленно закрашивается; ставить ладью на закрашенную клетку запрещено. Какое наименьшее количество ладей потребуется Пете, чтобы независимо от исходной нумерации он смог за несколько ходов закрасить все клетки таблицы?

(Д. Храмцов)

Показать решение

11.4. Плоскость \alpha пересекает ребра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы \angle(KLA,KLM), \angle(LMB,LMN), \angle(MNC,MNK) и \angle(NKD,NKL) равны. (Здесь через \angle(PQR, PQS) обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость \alpha лежат на одной окружности.

(А. Акопян)

Второй день

11.5. Числа x, y и z таковы, что все три числа x +yz, y +zx и z +xy рациональны, а x^2 + y^2 = 1. Докажите, что число xyz^2 также
рационально.

(Н. Агаханов)

Показать решение

11.6. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке K. Оказалось, что точки B, D, а также середины отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC?

(Г. Жуков)

Показать решение

11.7. Дан многочлен

P(x) = a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} +\ldots + a_1x + a_0,

у которого каждый коэффициент a_i принадлежит отрезку [100, 101]. При каком минимальном n у такого многочлена может найтись действительный корень?

(И. Богданов, К. Сухов)

Показать решение

11.8. Петя поставил на доску 50 \times 50 несколько фишек, в каждую клетку — не больше одной. Докажите, что Вася может поставить на свободные поля этой же доски не более 99 новых фишек (возможно, ни одной) так, чтобы по-прежнему в каждой клетке стояло не больше одной фишки, и в каждой строке и каждом столбце этой доски оказалось чётное количество фишек.

(С. Берлов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение