10 класс

Первый день

10.1. Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них — 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок —целое число. Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз.

(Н. Агаханов, И. Богданов)

Показать решение

10.2. Стозначное число

    \[n\]

назовём необычным, если десятичная запись числа

    \[n^3\]

заканчивается на

    \[n\]

, а десятичная запись числа

    \[n^2\]

не заканчивается на

    \[n\]

. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел.

(В. Сендеров)

10.3. В языке племени АУ две буквы — “а” и “у”. Некоторые последовательности этих букв являются словами, причём в каждом слове не больше 13 букв. Известно, что если написать подряд любые два слова, то полученная последовательность букв не будет словом. Найдите максимальное возможное количество
слов в таком языке.

(И. Богданов)

Показать решение

10.4. На стороне

    \[AB\]

треугольника

    \[ABC\]

выбраны точки

    \[C_1\]

и

    \[C_2\]

. Аналогично, на стороне

    \[BC\]

выбраны точки

    \[A_1\]

и

    \[A_2\]

, а на стороне

    \[AC\]

— точки

    \[B_1\]

и

    \[B_2\]

. Оказалось, что отрезки

    \[A_1B_2, B_1C_2\]

и

    \[C_1A_2\]

имеют равные длины, пересекаются в одной точке, и
угол между любыми двумя из них равен

    \[60^{\circ}\]

. Докажите, что

    \[\displaystyle \frac{A_1A_2}{BC}=\frac{B_1B_2}{CA}=\frac{C_1C_2}{AB}.\]

(И. Богданов)

Второй день

10.5. На доске написано уравнение

    \[x^3 +∗x^2 +∗x+∗ = 0\]

. Петя и Вася по очереди заменяют звёздочки на рациональные числа: вначале Петя заменяет любую из звёздочек, потом Вася —любую из двух оставшихся, а затем Петя —оставшуюся звёздочку. Верно ли, что при любых действиях Васи Петя сможет получить уравнение, у которого разность каких-то двух корней равна

    \[2014\]

?

(Н. Агаханов)

Показать решение

10.6. Треугольник

    \[ABC\]

вписан в окружность

    \[\Omega\]

с центром

    \[O\]

. Окружность, построенная на

    \[AO\]

как на диаметре, пересекает описанную окружность треугольника

    \[OBC\]

в точке

    \[S \ne O\]

. Касательные к

    \[\Omega\]

в точках

    \[B\]

и

    \[C\]

пересекаются в точке

    \[P\]

. Докажите, что точки

    \[A, S\]

и

    \[P\]

лежат на одной прямой.

(Р. Садыков)

10.7. По кругу стоят

    \[10^{1000}\]

натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами записали их наименьшее общее кратное. Могут ли эти наименьшие общие кратные образовать

    \[101000\]

последовательных чисел (расположенных в каком-то порядке)?

(С. Берлов)

10.8. Петя поставил на доску

    \[50 \times 50\]

несколько фишек, в каждую клетку — не больше одной. Докажите, что Вася может поставить на свободные поля этой же доски не более

    \[99\]

новых фишек (возможно, ни одной) так, чтобы по-прежнему в каждой клетке стояло не больше одной фишки, и в каждой строке и каждом столбце этой доски оказалось чётное количество фишек.

(С. Берлов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение