10 класс

Первый день

10.1. Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них — 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок —целое число. Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз.

(Н. Агаханов, И. Богданов)

Показать решение

10.2. Стозначное число n назовём необычным, если десятичная запись числа n^3 заканчивается на n, а десятичная запись числа n^2 не заканчивается на n. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел.

(В. Сендеров)

10.3. В языке племени АУ две буквы — “а” и “у”. Некоторые последовательности этих букв являются словами, причём в каждом слове не больше 13 букв. Известно, что если написать подряд любые два слова, то полученная последовательность букв не будет словом. Найдите максимальное возможное количество
слов в таком языке.

(И. Богданов)

Показать решение

10.4. На стороне AB треугольника ABC выбраны точки C_1 и C_2. Аналогично, на стороне BC выбраны точки A_1 и A_2, а на стороне AC — точки B_1 и B_2. Оказалось, что отрезки A_1B_2, B_1C_2 и C_1A_2 имеют равные длины, пересекаются в одной точке, и
угол между любыми двумя из них равен 60^{\circ}. Докажите, что

\displaystyle \frac{A_1A_2}{BC}=\frac{B_1B_2}{CA}=\frac{C_1C_2}{AB}.

(И. Богданов)

Второй день

10.5. На доске написано уравнение x^3 +∗x^2 +∗x+∗ = 0. Петя и Вася по очереди заменяют звёздочки на рациональные числа: вначале Петя заменяет любую из звёздочек, потом Вася —любую из двух оставшихся, а затем Петя —оставшуюся звёздочку. Верно ли, что при любых действиях Васи Петя сможет получить уравнение, у которого разность каких-то двух корней равна 2014?

(Н. Агаханов)

Показать решение

10.6. Треугольник ABC вписан в окружность \Omega с центром O. Окружность, построенная на AO как на диаметре, пересекает описанную окружность треугольника OBC в точке S \ne O. Касательные к \Omega в точках B и C пересекаются в точке P. Докажите, что точки A, S и P лежат на одной прямой.

(Р. Садыков)

10.7. По кругу стоят 10^{1000} натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами записали их наименьшее общее кратное. Могут ли эти наименьшие общие кратные образовать 101000 последовательных чисел (расположенных в каком-то порядке)?

(С. Берлов)

10.8. Петя поставил на доску 50 \times 50 несколько фишек, в каждую клетку — не больше одной. Докажите, что Вася может поставить на свободные поля этой же доски не более 99 новых фишек (возможно, ни одной) так, чтобы по-прежнему в каждой клетке стояло не больше одной фишки, и в каждой строке и каждом столбце этой доски оказалось чётное количество фишек.

(С. Берлов)

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение