9. Правила дифференцирования вектор-функции*

Теорема 1. Пусть {\bf r}_1:X\to\mathbb{V},{\bf r}_2:X\to\mathbb{V}, a\in X, вектор-функции {\bf r}_1 и {\bf r}_2 дифференцируемы в точке a. Тогда вектор-функция {\bf r}_1+{\bf r}_2 дифференцируема в точке a и

({\bf r}_1+{\bf r}_2)^{\prime}(a)={\bf r}^{\prime}_1(a)+{\bf r}^{\prime}_2(a) .

Теорема 2. Пусть {\bf r}:X\to\mathbb{V}, \alpha -  произвольное вещественное число, a\in X, вектор-функция {\bf r} дифференцируема в точке a. Тогда вектор-функция \alpha{\bf r} дифференцируема в точке a и

(\alpha{\bf r})^{\prime}(a)=\alpha{\bf r}^{\prime}(a) .

Теорема 3. Пусть {\bf r}_1:X\to\mathbb{V},{\bf r}_2:X\to\mathbb{V}, a\in X, вектор-функции {\bf r}_1 и {\bf r}_2 дифференцируемы в точке a. Тогда вектор-функция {\bf r}_1{\bf r}_2 дифференцируема в точке a и

({\bf r}_1{\bf r}_2)^{\prime}(a)={\bf r}^{\prime}_1(a){\bf r}_2(a)+{\bf r}_1(a){\bf r}^{\prime}_2(a).

Теорема 4. Пусть \varphi:X_1\to\mathbb{R}, {\bf r}:X\to\mathbb{V}. Пусть \varphi(X_1)\subset X. Пусть a\in X_1, функция \varphi дифференцируема в точке a, вектор-функция {\bf r} дифференцируема в точке \varphi(a). Тогда вектор-функция {\bf r}\circ\varphi дифференцируема в точке a и

({\bf r}\circ\varphi)^{\prime}(a)={\bf r}^{\prime}(\varphi(a))\cdot\varphi^{\prime}(a) .

Доказательство проведем для третьей теоремы. Выберем в множестве \mathbb{V}_3 декартов базис. Пусть {\bf r}_1=(x_1,y_1), {\bf r}_2=(x_2,y_2).

{\bf r}_1\cdot{\bf r}_2=x_1x_2+y_1y_2 .

Так как вектор-функция {\bf r}_1 дифференцируема, то дифференцируемы и функции x_1,y_1.

Так как вектор-функция {\bf r}_2 дифференцируема, то дифференцируемы и функции x_2,y_2.

Значит, функция x_1x_2+y_1y_2 дифференцируема, следовательно, функция {\bf r}_1\cdot{\bf r}_2 также дифференцируема.

\begin{array}{l}<br />
({\bf r}_1{\bf r}_2)^{\prime}(a)=(x_1x_2+y_1y_2)^{\prime}(a)=(x_1x_2)^{\prime}(a)+(y_1y_2)^{\prime}(a)=\\[2mm]<br />
=x^{\prime}_1(a)x_2(a)+x_1(a)x^{\prime}_2(a)+y^{\prime}_1(a)y_2(a)+y_1(a)y^{\prime}_2(a)={\bf r}^{\prime}_1(a){\bf<br />
r}_2(a)+{\bf r}_1(a){\bf r}^{\prime}_2(a),<br />
\end{array}
перегруппировывая слагаемые (первое с третьим, второе с четвертым).

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение