8. Производная и дифференциал вектор-функции*

Определение. Пусть {\bf r}:X\to\mathbb{V}, a – точка множества X. Производной вектор-функции {\bf r} в точке a называется вектор {\bf r}^{\prime}(t)=\displaystyle\lim_{t\to a}{{\bf r}(t)-{\bf r}(a)\over t-a}.

Задача. Приведите пример последовательности x_n, сходящейся к 1, для которой последовательность x_n^n не сходится к 1.

Задача. Пусть f:X\to \mathbb{R}, \forall x\ x\in X\Rightarrow -x\in X. Докажите, что функцию f можно единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Задача. Пусть f:X\to\mathbb{R} и функция f дифференцируема. Докажите следующие утверждения

а) если функция f четна, то функция f^{\prime} нечетна;

б) если функция f нечетна, то функция f^{\prime} четна.

Определение производной вектор-функции равносильно следующему

\displaystyle {\bf r}^{\prime}(a)=\lim_{h\to0}{{\bf r}(a+h)-{\bf r}(a)\over h}.

Определение. Пусть {\bf r}:X\to\mathbb{V}, a\in X. Вектор-функция {\bf r} называется дифференцируемой в точке a, если существует такой вектор {\bf c} и такая вектор-функция {\bf f}, что имеет место равенство

{\bf r}(a+h)-{\bf r}(a)={\bf c}h+{\bf f}(h)h

\forall h:\ a+h\in X, причем \displaystyle\lim_{h\to0}{\bf f}(h)=0.

Так же, как и для числовых функций, можем доопределить вектор-функцию {\bf  f} в нуле, положив, например, {\bf f}(0)={\bf 0}.

Точно так же, как и для числовых функций, можно доказать, что дифференцируемость равносильна существованию производной.

Определение. Пусть {\bf r}:X\to\mathbb{V}. Выберем произвольную точку O, и для каждого числа t из множества X отложим вектор {\bf r}(t) от точки O. Рассмотрим множество концов этих векторов. Это множество называется годографом (траекторией) вектор-функции {\bf r}.

Пример. Пусть X=\mathbb{R}, t\mapsto(\cos t,\sin t).

Годограф – окружность едининчного радиуса с центром в начале координат.

У разных вектор-функций может быть одна и та же траектория, например, рассмотрим две вектор-функции

X=\mathbb{R},\ t\mapsto(\cos2t,\sin2t) и X=\mathbb{R},\ t\mapsto(\cos t,\sin t)

Определение. Пусть M – траектория вектор-функции {\bf r}. Тогда {\bf r} называется параметризацией траектории (множества) M.

Пусть {\bf r}:X\to\mathbb{V},\ f\in X. Тогда {\bf r}^{\prime}(a) – скорость в момент времени a. Воспринимаем вектор-функцию как ее траекторию, то есть каждой точке ставим в соответствие конец вектора, отложенного от точки O. Тогда
вектор {\bf r}^{\prime}(a) направлен по касательной к траектории вектор-функции {\bf r} в точке, являющейся концом вектора {\bf r}(a).

Теорема. Пусть {\bf r}:X\to\mathbb{V}. Пусть в множестве \mathbb{V} выбран базис и пусть (x,y) – координаты вектор-функции {\bf r} в этом базисе. Пусть a – произвольная точка множества X. Вектор-функция {\bf r} дифференцируема в точке a тогда и только тогда, когда обе числовые функции x и y дифференцируемы в точке a и вектор {\bf r}^{\prime}(a) имеет координаты (x^{\prime}(a),y^{\prime}(a)).

Доказательство.

\displaystyle {\bf r}^{\prime}(a)=\lim_{t\to a}{{\bf r}(t)-{\bf r}(a)\over t-a} .

Найдем координаты вектор-функции

\begin{array}{l}\displaystyle<br />
t\mapsto{{\bf r}(t)-{\bf r}(a)\over t-a},\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
t\mapsto{x(t)-x(a)\over t-a},\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
t\mapsto{y(t)-y(a)\over t-a} .<br />
\end{array}

Первая функция имеет предел в точке a \Rightarrow вторая и третья функции имеют пределы в точке a. А предел первой функции – вектор, координаты которого – пределы второй и третьей функций, то есть вектор с координатами (x^{\prime}(a),y^{\prime}(a)).

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение