7. Предел последовательности векторов. Предел вектор-функции*

Предел последовательности векторов

Определение. Вектор {\bf a} называется пределом последовательности векторов ({\bf x}_n), если \forall\varepsilon>0\ \exists N:\forall n>N\ |{\bf x}_n-{\bf a}|<\varepsilon.

Определение. Точка A называется пределом последовательности точек (P_n), если \forall\varepsilon>0\ \exists N:\forall n>N\ \rho(P_n-A)<\varepsilon.

Если выбрать на плоскости точку O и все векторы {\bf x}_n отложить от точки O и через P_n обозначить концы векторов {\bf r}_n, отложенных от точки O, то

    \[{\bf x}_n\to{\bf a}\Leftrightarrow P_n\to A\]

(A — конец вектора {\bf a}, отложенного от точки O).

Определение предела равносильно следующему:

Определение. Точка A называется пределом последовательности точек P_n, если в любом открытом круге с центром в точке A содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого.

Задача. Доказать, что в последнем определении слова “с центром в точке A” можно заменить на “содержащем точку A”.

Теорема. Пусть {\bf r}_n — последовательность векторов, {\bf a} — вектор на плоскости. Пусть на плоскости задан базис, и в этом базисе вектор {\bf r}_n имеет координаты (x_n,y_n), а вектор {\bf a} — координаты (\alpha,\beta). Утверждение {\bf r}_n\to{\bf a} равносильно утверждению x_n\to\alpha и y_n\to\beta.

Доказательство. Приведем доказательство в случае, когда базис декартов.

    \[\begin{array}{l} |{\bf r}_n-{\bf a}|=\sqrt{(x_n-\alpha)^2+(y_n-\beta)^2},\\ |{\bf r}_n-{\bf a}|\ge|x_n-\alpha|,\\ |{\bf r}_n-{\bf a}|\ge|y_n-\beta|,\\ |{\bf r}_n-{\bf a}|\le|x_n-\alpha|+|y_n-\beta|, \end{array}\]

так как \sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}.

Необходимость. Пусть {\bf r}_n\to{\bf a}.

    \[\begin{array}{l} \forall\varepsilon>0\exists N:\forall n>N\ |{\bf r}_n-{\bf a}|<\varepsilon\Rightarrow|x_n-\alpha|<\varepsilon,\\ \forall\varepsilon>0\exists N:\forall n>N\ |{\bf r}_n-{\bf a}|<\varepsilon\Rightarrow|y_n-\beta|<\varepsilon . \end{array}\]

Отсюда следует, что x_n\to\alpha,y_n\to\beta.

Достаточность. Пусть x_n\to\alpha,y_n\to\beta. Тогда по определению предела последовательности

\displaystyle\exists N:\ \forall n>N |x_n-\alpha|<{\varepsilon\over 2} и \displaystyle \forall n>N |y_n-\beta|<{\varepsilon\over 2}

Тогда |x_n-\alpha|+|y_n-\beta|<\varepsilon\Rightarrow |{\bf r}_n-{\bf a}|<\varepsilon. Значит, {\bf r}_n\to{\bf a}.

Замечание. {\bf r}_n\to{\bf a} тогда и только тогда, когда числовая последовательность |{\bf r}_n-{\bf a}|\to0.

Предел вектор-функции

Определение. Пусть {\bf r}:X\to\mathbb{V}, a — предельная точка множества X. Вектор {\bf A} называется пределом вектор-функции {\bf r} в точке a, если для любой числовой последовательности x_n, x_n\in X,x_n\ne a,x_n\to a\Rightarrow {\bf r}(x_n)\to{\bf A}.

Теорема. Пусть {\bf r}:X\to\mathbb{V}, a — предельная точка множества X, пусть в множестве \mathbb{V} выбран базис и (x,y) — координаты вектор-функции {\bf r} в этом базисе, {\bf A} — вектор, координаты которого в выбранном базисе (\alpha,\beta). Тогда утверждение

    \[\lim_{a}{\bf r}={\bf A}\Leftrightarrow\left|\begin{array}{l} \displaystyle \lim_{a} x=\alpha,\\[4mm] \displaystyle\lim_{a}y=\beta. \end{array}\right.\]

Доказательство. получается применением теоремы из предыдущего пункта.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение