6. Вектор-функция. Определение вектор-функции. Координаты вектор-функции*
Пусть — множество всех векторов на плоскости,
— множество всех векторов в пространстве. Пусть
— либо
, либо
.
Определение. Пусть — произвольное числовое множество. Вектор-функцией с областью определения
называется отображение множества
в множество
.
Обозначение. .
Другими словами, это правило, которое каждому числу из множества ставит в соответствие вектор из множества
.
Определение. Пусть — вектор-функция,
, а
и
— базис
. Тогда для всякого
существуют числа
и
, такие, что вектор
. Таким образом, вектор-функция
определяет две числовые функции
и
. Числовые функции
и
называются координатами вектор-функции
в базисе
.
Обратно: если в множестве выбран базис
, а на множестве
заданы две числовые функции
и
, то с помощью формулы
мы на множестве
зададим вектор-функцию. Таким образом, если в множестве
выбран базис, то задание вектор-функции равносильно заданию двух числовых функций.
Теорема. Пусть — базис
,
— координаты вектор-функции
в базисе
,
— координаты вектор-функции
в этом же базисе. Тогда
— координаты вектор-функции
в базисе
.
Доказательство.
Теорема. Пусть — базис
,
— координаты вектор-функции
в базисе
,
— произвольное вещественное число. Тогда
— координаты вектор-функции
в базисе
.
Доказательство.
Теорема. Пусть — декартов базис
, пусть
— координаты
в базисе
, а
— координаты
в базисе
. Тогда скалярное произведение
вычисляется по правилу
Доказательство.
Нужно эти формулы перемножить скалярно и воспользоваться тем, что ,
.
Оставьте свой отзыв