6. Вектор-функция. Определение вектор-функции. Координаты вектор-функции*

Пусть \mathbb{V}_2 – множество всех векторов на плоскости, \mathbb{V}_3 – множество всех векторов в пространстве. Пусть \mathbb{V} – либо \mathbb{V}_2, либо \mathbb{V}_3.

Определение. Пусть X – произвольное числовое множество. Вектор-функцией с областью определения X называется отображение множества X в множество \mathbb{V}.

Обозначение. {\bf r}:X\to\mathbb{V}.

Другими словами, это правило, которое каждому числу из множества X ставит в соответствие вектор из множества \mathbb{V}.

Определение. Пусть {\bf r} – вектор-функция, {\bf r}:X\to\mathbb{V}_2, а {\bf a} и {\bf b} – базис \mathbb{V}_2. Тогда для всякого t\in X существуют числа x(t) и y(t), такие, что вектор {\bf r}(t)=x(t){\bf a}+y(t){\bf b}. Таким образом, вектор-функция {\bf r}(t) определяет две числовые функции x:\ t\mapsto x(t) и y:\ t\mapsto y(t). Числовые функции x и y называются координатами вектор-функции {\bf r} в базисе {\bf a},{\bf b}.

Обратно: если в множестве \mathbb{V}_2 выбран базис {\bf a},{\bf b}, а на множестве X заданы две числовые функции x и y, то с помощью формулы {\bf r}(t)=x(t){\bf a}+y(t){\bf b} мы на множестве X зададим вектор-функцию. Таким образом, если в множестве \mathbb{V}_2 выбран базис, то задание вектор-функции равносильно заданию двух числовых функций.

Теорема. Пусть {\bf a},{\bf b} – базис \mathbb{V}_2, x_1,y_1 – координаты вектор-функции {\bf r}_1 в базисе {\bf a},{\bf b}, x_2,y_2 – координаты вектор-функции {\bf r}_2 в этом же базисе. Тогда x_1+x_2,y_1+y_2 – координаты вектор-функции {\bf r}_1+{\bf r}_2 в базисе {\bf a},{\bf b}.

Доказательство.
\begin{array}{l}<br />
{\bf r}_1(t)=x_1(t){\bf a}+y_1(t){\bf b},\\<br />
{\bf r}_2(t)=x_2(t){\bf a}+y_2(t){\bf b},\\<br />
({\bf r}_1+{\bf r}_2)(t)=(x_1+x_2)(t){\bf a}+(y_1+y_2)(t){\bf b}.<br />
\end{array}

Теорема. Пусть {\bf a},{\bf b} – базис \mathbb{V}_2, x,y – координаты вектор-функции {\bf r} в базисе {\bf a},{\bf b}, \alpha – произвольное вещественное число. Тогда \alpha x,\alpha y – координаты вектор-функции \alpha{\bf r} в базисе {\bf a},{\bf b}.

Доказательство.
\begin{array}{l}<br />
{\bf r}(t)=x(t){\bf a}+y(t){\bf b},\\<br />
\alpha{\bf r}(t)=\alpha x(t){\bf a}+\alpha y(t){\bf b}.<br />
\end{array}

Теорема. Пусть {\bf a},{\bf b} – декартов базис \mathbb{V}_2, пусть x_1,y_1 – координаты {\bf r}_1 в базисе {\bf a},{\bf b}, а x_2,y_2 – координаты {\bf r}_2 в базисе {\bf a},{\bf b}. Тогда скалярное произведение {\bf r}_1\cdot{\bf r}_2 вычисляется по правилу

{\bf r}_1\cdot{\bf r}_2(t)=(x_1x_2)(t)+(y_1y_2)(t) .

Доказательство.
\begin{array}{l}<br />
{\bf r}_1(t)=x_1(t){\bf a}+y_1(t){\bf b},\\<br />
{\bf r}_2(t)=x_2(t){\bf a}+y_2(t){\bf b}.<br />
\end{array}

Нужно эти формулы перемножить скалярно и воспользоваться тем, что {\bf a}^2={\bf b}^2=1, {\bf a}\cdot{\bf b}=0.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение