Вектор-функция. Определение вектор-функции. Координаты вектор-функции

6. Вектор-функция. Определение вектор-функции. Координаты вектор-функции*

Пусть $\mathbb{V}_2$ — множество всех векторов на плоскости, $\mathbb{V}_3$ — множество всех векторов в пространстве. Пусть $\mathbb{V}$ — либо $\mathbb{V}_2$ , либо $\mathbb{V}_3$ .

Определение. Пусть $X$ — произвольное числовое множество. Вектор-функцией с областью определения $X$ называется отображение множества $X$ в множество $\mathbb{V}$ .

Обозначение. ${\bf r}:X\to\mathbb{V}$ .

Другими словами, это правило, которое каждому числу из множества $X$ ставит в соответствие вектор из множества $\mathbb{V}$ .

Определение. Пусть ${\bf r}$ — вектор-функция, ${\bf r}:X\to\mathbb{V}_2$ , а ${\bf a}$ и ${\bf b}$ — базис $\mathbb{V}_2$ . Тогда для всякого $t\in X$ существуют числа $x(t)$ и $y(t)$ , такие, что вектор ${\bf r}(t)=x(t){\bf a}+y(t){\bf b}$ . Таким образом, вектор-функция ${\bf r}(t)$ определяет две числовые функции $x:\ t\mapsto x(t)$ и $y:\ t\mapsto y(t)$ . Числовые функции $x$ и $y$ называются координатами вектор-функции ${\bf r}$ в базисе ${\bf a},{\bf b}$ .

Обратно: если в множестве $\mathbb{V}_2$ выбран базис ${\bf a},{\bf b}$ , а на множестве $X$ заданы две числовые функции $x$ и $y$ , то с помощью формулы ${\bf r}(t)=x(t){\bf a}+y(t){\bf b}$ мы на множестве $X$ зададим вектор-функцию. Таким образом, если в множестве $\mathbb{V}_2$ выбран базис, то задание вектор-функции равносильно заданию двух числовых функций.

Теорема. Пусть ${\bf a},{\bf b}$ — базис $\mathbb{V}_2$ , $x_1,y_1$ — координаты вектор-функции ${\bf r}_1$ в базисе ${\bf a},{\bf b}$ , $x_2,y_2$ — координаты вектор-функции ${\bf r}_2$ в этом же базисе. Тогда $x_1+x_2,y_1+y_2$ — координаты вектор-функции ${\bf r}_1+{\bf r}_2$ в базисе ${\bf a},{\bf b}$ .

Доказательство.

$\begin{array}{l} {\bf r}_1(t)=x_1(t){\bf a}+y_1(t){\bf b},\\ {\bf r}_2(t)=x_2(t){\bf a}+y_2(t){\bf b},\\ ({\bf r}_1+{\bf r}_2)(t)=(x_1+x_2)(t){\bf a}+(y_1+y_2)(t){\bf b}. \end{array}$

Теорема. Пусть ${\bf a},{\bf b}$ — базис $\mathbb{V}_2$ , $x,y$ — координаты вектор-функции ${\bf r}$ в базисе ${\bf a},{\bf b}$ , $\alpha$ — произвольное вещественное число. Тогда $\alpha x,\alpha y$ — координаты вектор-функции $\alpha{\bf r}$ в базисе ${\bf a},{\bf b}$ .

Доказательство.

$\begin{array}{l} {\bf r}(t)=x(t){\bf a}+y(t){\bf b},\\ \alpha{\bf r}(t)=\alpha x(t){\bf a}+\alpha y(t){\bf b}. \end{array}$

Теорема. Пусть ${\bf a},{\bf b}$ — декартов базис $\mathbb{V}_2$ , пусть $x_1,y_1$ — координаты ${\bf r}_1$ в базисе ${\bf a},{\bf b}$ , а $x_2,y_2$ — координаты ${\bf r}_2$ в базисе ${\bf a},{\bf b}$ . Тогда скалярное произведение ${\bf r}_1\cdot{\bf r}_2$ вычисляется по правилу