Математика, которая мне нравится

Таблица производных элементарных функций
1. y=x^{\mu},\qquad y^{\prime}=\mu x^{\mu-1};

2. y=a^x,\qquad y^{\prime}=a^x\ln a;

3. y=\log_a x,\qquad \displaystyle  y^{\prime}={1\over x}\log_ae={1\over x\ln a};

4. y=\sin x,\qquad y^{\prime}=\cos x;

y=\cos x,\qquad y^{\prime}=-\sin x;

y={\rm tg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over \cos^2x};

y={\rm ctg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}=-{1\over \sin^2x};

y={\rm arcsin}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over \sqrt{1-x^2}};

y={\rm arccos}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}=-{1\over \sqrt{1-x^2}};

y={\rm arctg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over 1+x^2}.

Доказательство.

1.

(по замечательному пределу  I).

2.

(по замечательному пределу III).

y=e^x\Longrightarrow y^{\prime}=e^x

3.

(по замечательному пределу II).

\displaystyle a=e\ y=\ln x\ y^{\prime}={1\over x}

4.

(по замечательному пределу V).

Задачи.

1) Вычислите производные следующих функций:

а) f(x)=3-2x;

б) f(x)=\sqrt[3]{x};

в) f(x)=x^2\sqrt[4]{x^5};

г) f(x)=\cos x-{\rm tg}\, x;

д) \displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}.

2) Пользуясь теоремой о производной композиции, найдите производные функций:

а) f(x)=\sin2x;

б) f(x)=(x+1)^{50};

в) f(x)=\sqrt{1-3x};

г) \displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos^2 x};

д) \displaystyle \frac{\sin(\cos x)}{\cos(\sin x)}.

3) Вычислите производные в точках:

а) Вычислите \displaystyle f^{\prime}\left(\frac{3}{5}\right), если f(x)=\sqrt{1+5x}.

б) Вычислите f^{\prime}\left(\sqrt{2}\right), если \displaystyle f(x)=x^3{\rm arcsin}\, \frac{1}{x}.

в) Вычислите f^{\prime}(0),f^{\prime}(2),f^{\prime}(3), если f(x)=x^3(x-2)^2(x-3).

г) Вычислите f^{\prime}(5), если f(x)=x(x-1)(x-2)\ldots(x-10).