5. Вычисление производных элементарных функций

Таблица производных элементарных функций
1. y=x^{\mu},\qquad y^{\prime}=\mu x^{\mu-1};

2. y=a^x,\qquad y^{\prime}=a^x\ln a;

3. y=\log_a x,\qquad \displaystyle  y^{\prime}={1\over x}\log_ae={1\over x\ln a};

4. y=\sin x,\qquad y^{\prime}=\cos x;

y=\cos x,\qquad y^{\prime}=-\sin x;

y={\rm tg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over \cos^2x};

y={\rm ctg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}=-{1\over \sin^2x};

y={\rm arcsin}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over \sqrt{1-x^2}};

y={\rm arccos}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}=-{1\over \sqrt{1-x^2}};

y={\rm arctg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over 1+x^2}.

Доказательство.

1.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
y^{\prime}=\lim_{h\to0}{y(x+h)-y(x)\over h}=\lim_{h\to0}{(x+h)^{\mu}-x^{\mu}\over h}=\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
=\lim_{h\to0}{x^{\mu}\left(1+{h\over x}\right)^{\mu}-1\over<br />
h}=\lim_{h\to0}x^{\mu-1}{\left(1+{h\over x}\right)^{\mu}-1\over {h\over x}}=\mu x^{\mu-1}<br />
\end{array}
(по замечательному пределу  I).

2.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
y^{\prime}=\lim_{h\to0}{y(x+h)-y(x)\over h}=\lim_{h\to0}{a^{x+h}-a^x\over h}=\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
=\lim_{h\to0}a^x{a^h-1\over h}=a^x\ln a<br />
\end{array}
(по замечательному пределу III).

y=e^x\Longrightarrow y^{\prime}=e^x

3.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
y^{\prime}=\lim_{h\to0}{y(x+h)-y(x)\over h}=\lim_{h\to0}{\log_a(x+h)-\log_ax\over h}=\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
=\lim_{h\to0}{\log_a\left(1+{h\over x}\right)\over h}=\lim_{h\to0}{{1\over x}\log_a\left(1+{h\over x}\right)\over {h\over x}}=\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
={1\over x}\lim_{h\to0}{\log_a\left(1+{h\over x}\right)\over {h\over x}}={1\over x}\log_ae={1\over x\ln a}<br />
\end{array}
(по замечательному пределу II).

\displaystyle a=e\ y=\ln x\ y^{\prime}={1\over x}

4.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
y^{\prime}=\lim_{h\to0}{y(x+h)-y(x)\over h}=\lim_{h\to0}{\sin(x+h)-\sin x\over h}=\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
=\lim_{h\to0}{2\cos{2x+h\over 2}\sin{h\over 2}\over<br />
h}=\lim_{h\to0}{\cos\left( x+{h\over 2}\right)\sin{h\over 2}\over {h\over 2}}=\cos x<br />
\end{array}
(по замечательному пределу V).

Задачи.

1) Вычислите производные следующих функций:

а) f(x)=3-2x;

б) f(x)=\sqrt[3]{x};

в) f(x)=x^2\sqrt[4]{x^5};

г) f(x)=\cos x-{\rm tg}\, x;

д) \displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}.

2) Пользуясь теоремой о производной композиции, найдите производные функций:

а) f(x)=\sin2x;

б) f(x)=(x+1)^{50};

в) f(x)=\sqrt{1-3x};

г) \displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos^2 x};

д) \displaystyle \frac{\sin(\cos x)}{\cos(\sin x)}.

3) Вычислите производные в точках:

а) Вычислите \displaystyle f^{\prime}\left(\frac{3}{5}\right), если f(x)=\sqrt{1+5x}.

б) Вычислите f^{\prime}\left(\sqrt{2}\right), если \displaystyle f(x)=x^3{\rm arcsin}\, \frac{1}{x}.

в) Вычислите f^{\prime}(0),f^{\prime}(2),f^{\prime}(3), если f(x)=x^3(x-2)^2(x-3).

г) Вычислите f^{\prime}(5), если f(x)=x(x-1)(x-2)\ldots(x-10).

Комментариев: 6

  1. 1 Александр:

    Помогите пожалуйста с решением!
    у=2arcsin(3x-5)
    Решение:
    2/√(1-x^2 )*(3x-5)+2arcsin3
    Это правильное решение?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы производную берете? Нет, неверно. Это сложная функция. Попробуйте обозначить z=3x-5, а дальше дифференцируйте по z (это табличная производная, если не считать умножения на 2 :) ), а потом умножьте на производную z по x, т.е. на 3.

    [Ответить]

  2. 2 Катя:

    Объясните пожалуйста как решать)

    8e (У е в степени arctgx )

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    y=8e^{\mbox{\rm arctg}\,x}? Это тоже сложная функция. Введите новую переменную, скажем, z=\mbox{\rm arctg}\,x, а дальше производная сложной функции: \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}. Обе производные табличные.

    [Ответить]

  3. 3 zbl:

    В доказательстве 1. опечатка? x^\mu перед дробью, а не в числителе?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение