Вычисление производных элементарных функция | Математика, которая мне нравится

5. Вычисление производных элементарных функций

Таблица производных элементарных функций
1. $y=x^{\mu},\qquad y^{\prime}=\mu x^{\mu-1}$ ;

2. $y=a^x,\qquad y^{\prime}=a^x\ln a$ ;

3. $y=\log_a x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over x}\log_ae={1\over x\ln a}$ ;

4. $y=\sin x,\qquad y^{\prime}=\cos x$ ;

$y=\cos x,\qquad y^{\prime}=-\sin x$ ;

$y={\rm tg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over \cos^2x}$ ;

$y={\rm ctg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}=-{1\over \sin^2x}$ ;

$y={\rm arcsin}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over \sqrt{1-x^2}}$ ;

$y={\rm arccos}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}=-{1\over \sqrt{1-x^2}}$ ;

$y={\rm arctg}\, x,\qquad \displaystyle y^{\prime}={1\over 1+x^2}$ .

Доказательство.

$\begin{array}{l} \displaystyle y^{\prime}=\lim_{h\to0}{y(x+h)-y(x)\over h}=\lim_{h\to0}{(x+h)^{\mu}-x^{\mu}\over h}=\\[4mm] \displaystyle =\lim_{h\to0}{x^{\mu}\left(1+{h\over x}\right)^{\mu}-1\over h}=\lim_{h\to0}x^{\mu-1}{\left(1+{h\over x}\right)^{\mu}-1\over {h\over x}}=\mu x^{\mu-1} \end{array}$
(по замечательному пределу I).

$\begin{array}{l} \displaystyle y^{\prime}=\lim_{h\to0}{y(x+h)-y(x)\over h}=\lim_{h\to0}{a^{x+h}-a^x\over h}=\\[4mm] \displaystyle =\lim_{h\to0}a^x{a^h-1\over h}=a^x\ln a \end{array}$
(по замечательному пределу III).

$y=e^x\Longrightarrow y^{\prime}=e^x$

$\begin{array}{l} \displaystyle y^{\prime}=\lim_{h\to0}{y(x+h)-y(x)\over h}=\lim_{h\to0}{\log_a(x+h)-\log_ax\over h}=\\[4mm] \displaystyle =\lim_{h\to0}{\log_a\left(1+{h\over x}\right)\over h}=\lim_{h\to0}{{1\over x}\log_a\left(1+{h\over x}\right)\over {h\over x}}=\\[4mm] \displaystyle ={1\over x}\lim_{h\to0}{\log_a\left(1+{h\over x}\right)\over {h\over x}}={1\over x}\log_ae={1\over x\ln a} \end{array}$
(по замечательному пределу II).

$\displaystyle a=e\ y=\ln x\ y^{\prime}={1\over x}$

$\begin{array}{l} \displaystyle y^{\prime}=\lim_{h\to0}{y(x+h)-y(x)\over h}=\lim_{h\to0}{\sin(x+h)-\sin x\over h}=\\[4mm] \displaystyle =\lim_{h\to0}{2\cos{2x+h\over 2}\sin{h\over 2}\over h}=\lim_{h\to0}{\cos\left( x+{h\over 2}\right)\sin{h\over 2}\over {h\over 2}}=\cos x \end{array}$
(по замечательному пределу V).

Задачи.

1) Вычислите производные следующих функций:

а) f(x)=3-2x ;

б) $f(x)=\sqrt[3]{x}$ ;

в) $f(x)=x^2\sqrt[4]{x^5}$ ;

г) $f(x)=\cos x-{\rm tg}\, x$ ;

д) $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ .

2) Пользуясь теоремой о производной композиции, найдите производные функций:

а) $f(x)=\sin2x$ ;

б) $f(x)=(x+1)^{50}$ ;

в) $f(x)=\sqrt{1-3x}$ ;

г) $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos^2 x}$ ;

д) $\displaystyle \frac{\sin(\cos x)}{\cos(\sin x)}$ .

3) Вычислите производные в точках:

а) Вычислите $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{3}{5}\right)$ , если $f(x)=\sqrt{1+5x}$ .

б) Вычислите $f^{\prime}\left(\sqrt{2}\right)$ , если $\displaystyle f(x)=x^3{\rm arcsin}\, \frac{1}{x}$ .

в) Вычислите $f^{\prime}(0),f^{\prime}(2),f^{\prime}(3)$ , если f(x)=x^3(x-2)^2(x-3) .

г) Вычислите $f^{\prime}(5)$ , если $f(x)=x(x-1)(x-2)\ldots(x-10)$ .

Комментарии (RSS) | Трекбек

Комментариев: 6

1 Александр:

Помогите пожалуйста с решением!
у=2arcsin(3x-5)
Решение:
2/√(1-x^2 )*(3x-5)+2arcsin3
Это правильное решение?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 26th, 2012 at 14:13
Вы производную берете? Нет, неверно. Это сложная функция. Попробуйте обозначить , а дальше дифференцируйте по (это табличная производная, если не считать умножения на ), а потом умножьте на производную по , т.е. на .

[Ответить]
26 Сентябрь 2012, 13:54
2 Катя:

Объясните пожалуйста как решать)

8e (У е в степени arctgx )

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 28th, 2012 at 18:26
$y=8e^{\mbox{\rm arctg}\,x}$ ? Это тоже сложная функция. Введите новую переменную, скажем, $z=\mbox{\rm arctg}\,x$ , а дальше производная сложной функции: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}$ . Обе производные табличные.

[Ответить]
28 Сентябрь 2012, 16:57
3 zbl:

В доказательстве 1. опечатка? $x^\mu$ перед дробью, а не в числителе?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июль 8th, 2013 at 21:23
Спасибо, исправила.

[Ответить]
7 Июль 2013, 0:38