4. Замечательные пределы

I. \displaystyle\lim_{x\to 0}(1+x)^{1\over x}=e.

Доказательство см. в курсе 10 класса.

II. \displaystyle\lim_{x\to0}{\log_a(1+x)\over x}=\log_ae.

Доказательство.

    \[\lim_{x\to0}\log_a(1+x)^{1\over x}=\log_ae .\]

Из непрерывности функции y=\log_ax получаем требуемое (\lim f(x)=f(\lim x)).

III. \displaystyle\lim_{x\to0}{a^x-1\over x}=\ln a.

Доказательство. Положим a^x-1=\beta\Longrightarrow x=\log_a(1+\beta).

    \[\begin{array}{l} x\to0\Longrightarrow\beta\to0\\[2mm] \displaystyle \lim_{x\to0}{a^x-1\over x}=\lim_{\beta\to0}{\beta\over \log_a(1+\beta)}={1\over \log_ae}=\ln a. \end{array}\]

Если a=e, то \displaystyle\lim_{x\to0}{e^x-1\over x}=1.

Если n\in\mathbb{N}, то

    \[\lim_{n\to\infty}n\left(\sqrt[n]{a}-1\right)=\lim_{n\to\infty}{a^{1\over n}-1\over {1\over n}}=\ln a .\]

IV. \displaystyle\lim_{x\to0}{(1+x)^{\mu}-1\over x}=\mu.

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} (1+x)^{\mu}-1=\beta\ x\to0\Longrightarrow\beta\to0,\\[2mm] (1+x)^{\mu}=1+\beta,\\[2mm] \mu\ln(1+x)=\ln(1+\beta),\\[2mm] \displaystyle \lim_{x\to0}{(1+x)^{\mu}-1\over x}=\lim_{\stackrel{x\to0}{\beta\to0}}{\beta\over x}=\lim_{\stackrel{x\to0} {\beta\to0}}{\beta\over \ln(1+\beta)}{\ln(1+\beta)\over x} =\lim_{\stackrel{x\to0}{\beta\to0}}{\mu\ln(1+x)\over x}=\mu. \end{array}\]

V. \displaystyle\lim_{x\to0}{\sin x\over x}=1.

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} S_{\Delta OCA}<S_{\mbox{\rm sector} OCA}<S_{\Delta OBA}\\[2mm] \displaystyle {1\over 2}R^2\sin x<{1\over 2}R^2x<{1\over 2}R^2{\rm tg}\, x,\\[4mm] \sin x< x< {\rm tg}\, x,\\[2mm] \displaystyle {1\over \sin x}>{1\over x}>{1\over {\rm tg} x},\\[4mm] \displaystyle 1>{\sin x\over x}>\cos x . \end{array}\]

При x\to0 \displaystyle\left\{\begin{array}{l} 1\to1,\\ \cos x\to1, \end{array}\right|\Longrightarrow{\sin x\over x}\to1 по теореме о двух милиционерах.

Таким образом, \displaystyle\lim_{x\to0+0}{\sin x\over x}=1.

Пусть -\pi/2<x<0, тогда \sin x=-\sin(-x).

    \[\begin{array}{l} x\to-0\Longrightarrow -x\to+0,\\[2mm] \displaystyle \lim_{x\to-0}{\sin x\over x}=1. \end{array}\]

Значит, \displaystyle\lim_{x\to0}{\sin x\over x}=1.

Задачи. Вычислите пределы

1) \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x};
2) \displaystyle\lim_{x\to \pi/5}\frac{\sin x-\sin\frac{\pi}{5}}{5x-\pi};
3) \displaystyle\lim_{x\to \pi/4}\frac{{\rm tg}\, x-1}{2\cos x-\sqrt{2}};

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение