4. Замечательные пределы

I. \displaystyle\lim_{x\to 0}(1+x)^{1\over x}=e.

Доказательство см. в курсе 10 класса.

II. \displaystyle\lim_{x\to0}{\log_a(1+x)\over x}=\log_ae.

Доказательство.

\displaystyle\lim_{x\to0}\log_a(1+x)^{1\over x}=\log_ae .

Из непрерывности функции y=\log_ax получаем требуемое (\lim f(x)=f(\lim x)).

III. \displaystyle\lim_{x\to0}{a^x-1\over x}=\ln a.

Доказательство. Положим a^x-1=\beta\Longrightarrow x=\log_a(1+\beta).
\begin{array}{l}<br />
x\to0\Longrightarrow\beta\to0\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
\lim_{x\to0}{a^x-1\over x}=\lim_{\beta\to0}{\beta\over<br />
\log_a(1+\beta)}={1\over \log_ae}=\ln a.<br />
\end{array}

Если a=e, то \displaystyle\lim_{x\to0}{e^x-1\over x}=1.

Если n\in\mathbb{N}, то

\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\left(\sqrt[n]{a}-1\right)=\lim_{n\to\infty}{a^{1\over n}-1\over {1\over n}}=\ln a .

IV. \displaystyle\lim_{x\to0}{(1+x)^{\mu}-1\over x}=\mu.

Доказательство.
\begin{array}{l}<br />
(1+x)^{\mu}-1=\beta\ x\to0\Longrightarrow\beta\to0,\\[2mm]<br />
(1+x)^{\mu}=1+\beta,\\[2mm]<br />
\mu\ln(1+x)=\ln(1+\beta),\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
\lim_{x\to0}{(1+x)^{\mu}-1\over x}=\lim_{\stackrel{x\to0}{\beta\to0}}{\beta\over x}=\lim_{\stackrel{x\to0}<br />
{\beta\to0}}{\beta\over \ln(1+\beta)}{\ln(1+\beta)\over x}<br />
=\lim_{\stackrel{x\to0}{\beta\to0}}{\mu\ln(1+x)\over x}=\mu.<br />
\end{array}

V. \displaystyle\lim_{x\to0}{\sin x\over x}=1.

Доказательство.

\begin{array}{l}<br />
S_{\Delta OCA}<S_{\mbox{\rm sector} OCA}<S_{\Delta OBA}\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
{1\over 2}R^2\sin x<{1\over 2}R^2x<{1\over 2}R^2{\rm tg}\, x,\\[4mm]<br />
\sin x< x< {\rm tg}\, x,\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
{1\over \sin x}>{1\over x}>{1\over {\rm tg} x},\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
1>{\sin x\over x}>\cos x . \end{array}

При x\to0 \displaystyle\left\{\begin{array}{l}<br />
1\to1,\\<br />
\cos x\to1,<br />
\end{array}\right|\Longrightarrow{\sin x\over x}\to1 по теореме о двух милиционерах.

Таким образом, \displaystyle\lim_{x\to0+0}{\sin x\over x}=1.

Пусть -\pi/2<x<0, тогда \sin x=-\sin(-x).

\begin{array}{l}<br />
x\to-0\Longrightarrow -x\to+0,\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
\lim_{x\to-0}{\sin x\over x}=1.<br />
\end{array}
Значит, \displaystyle\lim_{x\to0}{\sin x\over x}=1.

Задачи. Вычислите пределы

1) \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x};
2) \displaystyle\lim_{x\to \pi/5}\frac{\sin x-\sin\frac{\pi}{5}}{5x-\pi};
3) \displaystyle\lim_{x\to \pi/4}\frac{{\rm tg}\, x-1}{2\cos x-\sqrt{2}};

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение