34. Дифференциальное уравнение показательного роста

Задача. Найти все функции f, заданные на всей числовой оси, такие что для некоторого вещественного k справедливо утверждение

\forall x\ f^{\prime}(x)=kf(x) .

Одну функцию, обладающую этим свойством, найти легко:

x\mapsto e^{kx} .

Пусть f – произвольная функция, обладающая этим свойтством. Рассмотрим функцию g, заданную на всей числовой оси по правилу

\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{e^{kx}} ,

\displaystyle g^{prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)e^{kx}-f(x)ke^{kx}}{\left( e^{kx}\right)^2}=\frac{f^{\prime}(x)-kf(x)}{e^{kx}}=0 .

g=const

Следовательно, существует c\in\mathbb{R}:\ f(x)=ce^{kx}.

Задачи.

1) Найдите решения уравнений показательного роста, удовлетворяющих условиям:

1. y^{\prime}=2y,y=1 при x=2;

2. y^{\prime}-5y=0,y=0 при x=\pi.

2) Период полураспада урана U^{235} равен 4,5\cdot10^9 лет. Через сколько лет останется 99,99% исходного количества U^{235}?

3) В начальный момент времени в питательной среде имелось N_0 бактерий, а через 1 секунду – N_1 бактерий. Известно, что скорость  размножения бактерий при достаточном запасе пищи пропорциональная их количеству. Через какое время количество бактерий достигло 10N_0?

4) Население некоторой страны к концу 1990 года составляло 20,3 миллиона, а к концу 1998 года – 22,3 миллиона. Предполагая, что скорость  роста численности населения пропорциональна численности населения, определите, сколь велика была численность населения этой страны к концу 2010 года.

5) Точка движется в координатной плоскости так, что если $(x,y)$ – ее координаты в произвольный момент времени, то в тот же момент $(x,-y)$ – координаты ее вектора скорости. В момент $t=0$ точка имела координаты $(1,2)$. Может ли она в какой-нибудь момент времени иметь координаты  $(3,1)$?

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение