32. Производные логарифмической, показательной и степенной функций

Заметим, что функция x\mapsto\ln x обратна функции

x\mapsto e^x\Rightarrow e^{\ln x}=x\Rightarrow \ln x=\log_ex .

Из определения натурального логарифма \displaystyle \ln^{\prime}x=\frac{1}{x}.

По свойству 5) \log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}\Rightarrow функция x\mapsto\log_ax, определенная при x>0, дифференцируема во всех точках области определения.

\fbox{$\displaystyle \log_ax=\frac{1}{x\ln a}$}

Экспонента – функция, обратная натуральному логарифму. Натуральный логарифм дифференцируем во всех точках области определения, причем производная ни в одной точке не равна нулю.

Следовательно, экспонента дифференцируема во всех точках и

\displaystyle \exp^{\prime}(x)=\frac{1}{\frac{1}{\exp x}} .

a^x=e^{x\ln a}\Rightarrow функция x\mapsto a^x дифференцируема во всех точках, и

\left( a^x\right)^{\prime}=e^{x\ln a}\cdot(x\ln a)^{\prime}=a^x\ln a .

Рассмотрим функцию f(x)=x^{\alpha}\ (x>0).

f(x)=e^{\alpha\ln x}, следовательно, функция f дифференцируема во всех точках x>0 и

f^{\prime}(x)=e^{\alpha\ln x}\cdot(\alpha\ln x)^{\prime}=x^{\alpha}\cdot\frac{\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha-1} ,

\left( x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1} .

Логарифмическое дифференцирование

Пусть все значения функции f положительны. Тогда f=e^{\ln f}. Поэтому из дифференцируемости \ln f следует дифференцируемость f. При этом

\displaystyle (\ln f)^{\prime}=\frac{1}{f}\cdot f^{\prime}=\frac{f^{\prime}}{f} .

Отсюда f^{\prime}=f(\ln f)^{\prime}. Зная производную натурального логарифма f, легко найти f^{\prime}.

Примеры.

1) \displaystyle y=\frac{1+\sqrt[3]{x}}{2x-\sqrt[5]{x}}\cdot\sin^35x

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\ln y=\ln\left( 1+\sqrt[3]{x}\right)-\ln\left(2x-\sqrt[5]{x}\right)+3\ln\sin5x,\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}\left(1+\sqrt[3]{x}\right)}-\frac{1-\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}}{2x-\sqrt[5]{x}}+<br />
\frac{15\cos5x}{\sin5x},\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
y^{\prime}=\frac{1+\sqrt[3]{x}}{2x-\sqrt[5]{x}}\sin^35x\left(\frac{1}{3\left(\sqrt[3]{x^2}+x\right)}-<br />
\frac{5\sqrt[5]{x^4}-1}{5x\left(2\sqrt[5]{x^4}-1\right)}+15{\rm ctg}\,5x\right) .<br />
\end{array}

2) y=(\sin x)^{\ln x}

\begin{array}{l}<br />
\ln y=\ln x\cdot\ln\sin x,\\<br />
\displaystyle \frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x}\ln\sin x+\ln x{\rm ctg}\,x,\\[4mm]<br />
\displaystyle y^{\prime}=(\sin x)^{\ln x}\left(\frac{\ln\sin x}{x}+\ln x{\rm ctg}\, x\right) .<br />
\end{array}

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение