32. Производные логарифмической, показательной и степенной функций
Заметим, что функция обратна функции
Из определения натурального логарифма .
По свойству 5) функция
, определенная при
, дифференцируема во всех точках области определения.
Экспонента — функция, обратная натуральному логарифму. Натуральный логарифм дифференцируем во всех точках области определения, причем производная ни в одной точке не равна нулю.
Следовательно, экспонента дифференцируема во всех точках и
функция
дифференцируема во всех точках, и
Рассмотрим функцию .
, следовательно, функция
дифференцируема во всех точках
и
Логарифмическое дифференцирование
Пусть все значения функции положительны. Тогда
. Поэтому из дифференцируемости
следует дифференцируемость
. При этом
Отсюда . Зная производную натурального логарифма
, легко найти
.
Примеры.
1)
2)
Оставьте свой отзыв