Свойства логарифмов | Математика, которая мне нравится

31. Свойства логарифмов

Определение. Пусть $a>0,b>0,a\ne1$ . Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ $(\log_a b)$ называется показатель степени, в которую нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ .

Теорема 1. Если $a>0,b>0,a\ne 1$ , то логарифм $b$ по основанию $a$ существует и единственен.

Доказательство. $x=\log_a b\Leftrightarrow b=a^x .$

Таким образом, утверждение теоремы означает, что показательная функция с основанием $a$ принимает все положительные значения, причем каждое по одному разу.

$a^x=e^{x\ln a}$ (см. теорему существования).

Так как $a\ne 1$ , то $\ln a\ne0$ , следовательно, линейная функция $x\mapsto x\ln a$ принимает все вещественные значения, значит, функция $x\mapsto e^{x\ln a}$ принимает те же значения, что и функция экспонента. Но множество значений экспоненты есть множество всех положительных чисел. Таким образом, функция $x\mapsto a^x$ принимает все положительные значения, а то, что каждое значение принимает по одному разу, следует из ее строгой монотонности.

Теорема 2 (свойства логарифма).

1) $\log_a(x_1x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2\qquad (x_1>0,x_2>0,a>0,a\ne1)$ ;

2) $\displaystyle \log_a\frac{x_1}{x_2}=log_ax_1-\log_ax_2\qquad (x_1>0,x_2>0,a>0,a\ne1)$ ;

3) $\log_ax^{\alpha}=\alpha\log_ax\qquad(x>0,a>0,a\ne1)$ ;

4) $\displaystyle \log_{a^{\alpha}}x=\frac{1}{\alpha}\log_ax\qquad(x>0,a>0,a\ne1,\alpha\ne0)$ ;

5) $\displaystyle \log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}\qquad(x>0,a>0,b>0,a\ne1,b\ne1)$ .

Доказательство.

1)
$\left.\begin{array}{l} a^{\log_a(x_1x_2)}=x_1x_2,\\ a^{\log_ax_1+\log_ax_2}=a^{\log_ax_1}\cdot a^{\log_ax_2}=x_1x_2, \end{array}\right|\Rightarrow$ левая часть равна правой.

2) $\displaystyle \log_a\frac{x_1}{x_2}+\log_ax_2=\log_a\left(\frac{x_1}{x_2}\cdot x_2\right)=\log_ax_1$ .

$\left.\begin{array}{l} a^{\log_ax^{\alpha}}=x^{\alpha},\\ a^{\alpha\log_ax}=\left( a^{\log_ax}\right)^{\alpha}=x^{\alpha}, \end{array}\right|\Rightarrow$ левая часть равна правой.

4) $\left( a^{\alpha}\right)^{\log_{a^{\alpha}}}=x$ ,

$\left( a^{\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha}\log_ax}=a^{\log_ax}=x .$

$\left.\begin{array}{l} b^{\log_bx}=x,\\ b^{\log_ba\cdot\log_ax}=\left( b^{\log_ba}\right)^{\log_ax}=a^{\log_ax}=x, \end{array}\right|\Rightarrow\log_bx=\log_ba\cdot\log_ax,$

Так как $a\ne1$ , то $\displaystyle\log_ba\ne0\Rightarrow \log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}$ .

Задачи.

1) Вычислите
1. $\log_2 2\sqrt{2} .$
2. $\log_{1/\sqrt{5}} \sqrt[4]{125} .$
3. $2^{\log_4 25} .$
4. $\log_8 12+\log_{1/8} 3 .$
5. $\log_4 5\log_5 6\log_6 6\log_8 7 .$
6. $\displaystyle \frac{\log_2 18}{\log_{36}2}-\frac{\log_2 9}{\log_{72} 2} .$