31. Свойства логарифмов
Определение. Пусть . Логарифмом числа
по основанию
называется показатель степени, в которую нужно возвести
, чтобы получить
.
Теорема 1. Если , то логарифм
по основанию
существует и единственен.
Доказательство.
Таким образом, утверждение теоремы означает, что показательная функция с основанием принимает все положительные значения, причем каждое по одному разу.
(см. теорему существования).
Так как , то
, следовательно, линейная функция
принимает все вещественные значения, значит, функция
принимает те же значения, что и функция экспонента. Но множество значений экспоненты есть множество всех положительных чисел. Таким образом, функция
принимает все положительные значения, а то, что каждое значение принимает по одному разу, следует из ее строгой монотонности.
Теорема 2 (свойства логарифма).
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Доказательство.
1)
левая часть равна правой.
2) .
3)
левая часть равна правой.
4) ,
5)
Так как , то
.
Задачи.
1) Вычислите
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2) Найдите
1. , если
,
2. , если
и
.
3) Выясните, какое число больше
1. или
.
2. или
>.
3. или
.
4. или
.
5. или
.
6. или
.
Оставьте свой отзыв