31. Свойства логарифмов

Определение. Пусть a>0,b>0,a\ne1. Логарифмом числа b по основанию a (\log_a b) называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

Теорема 1. Если a>0,b>0,a\ne 1, то логарифм b по основанию a существует и единственен.

Доказательство. x=\log_a b\Leftrightarrow b=a^x .

Таким образом, утверждение теоремы означает, что показательная функция с основанием a принимает все положительные значения, причем каждое по одному разу.

a^x=e^{x\ln a} (см. теорему существования).

Так как a\ne 1, то \ln a\ne0, следовательно, линейная функция x\mapsto x\ln a принимает все вещественные значения, значит, функция x\mapsto e^{x\ln a} принимает те же значения, что и функция экспонента. Но множество значений экспоненты есть множество всех положительных чисел. Таким образом, функция x\mapsto a^x принимает все положительные значения, а то, что каждое значение принимает по одному разу, следует из ее строгой монотонности.

Теорема 2 (свойства логарифма).

1) \log_a(x_1x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2\qquad (x_1>0,x_2>0,a>0,a\ne1);

2) \displaystyle \log_a\frac{x_1}{x_2}=log_ax_1-\log_ax_2\qquad (x_1>0,x_2>0,a>0,a\ne1);

3) \log_ax^{\alpha}=\alpha\log_ax\qquad(x>0,a>0,a\ne1);

4) \displaystyle \log_{a^{\alpha}}x=\frac{1}{\alpha}\log_ax\qquad(x>0,a>0,a\ne1,\alpha\ne0);

5) \displaystyle \log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}\qquad(x>0,a>0,b>0,a\ne1,b\ne1).

Доказательство.

1)
\left.\begin{array}{l}<br />
a^{\log_a(x_1x_2)}=x_1x_2,\\<br />
a^{\log_ax_1+\log_ax_2}=a^{\log_ax_1}\cdot a^{\log_ax_2}=x_1x_2,<br />
\end{array}\right|\Rightarrow левая часть равна правой.

2) \displaystyle \log_a\frac{x_1}{x_2}+\log_ax_2=\log_a\left(\frac{x_1}{x_2}\cdot x_2\right)=\log_ax_1.

3)

\left.\begin{array}{l}<br />
a^{\log_ax^{\alpha}}=x^{\alpha},\\<br />
a^{\alpha\log_ax}=\left( a^{\log_ax}\right)^{\alpha}=x^{\alpha},<br />
\end{array}\right|\Rightarrow левая часть равна правой.

4) \left( a^{\alpha}\right)^{\log_{a^{\alpha}}}=x,

\left( a^{\alpha}\right)^{\frac{1}{\alpha}\log_ax}=a^{\log_ax}=x .

5)

\left.\begin{array}{l}<br />
b^{\log_bx}=x,\\<br />
b^{\log_ba\cdot\log_ax}=\left( b^{\log_ba}\right)^{\log_ax}=a^{\log_ax}=x,<br />
\end{array}\right|\Rightarrow\log_bx=\log_ba\cdot\log_ax,

Так как a\ne1, то \displaystyle\log_ba\ne0\Rightarrow \log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}.

Задачи.

1) Вычислите
1. \log_2 2\sqrt{2} .
2. \log_{1/\sqrt{5}} \sqrt[4]{125} .
3. 2^{\log_4 25} .
4. \log_8 12+\log_{1/8} 3 .
5. \log_4 5\log_5 6\log_6 6\log_8 7 .
6. \displaystyle \frac{\log_2 18}{\log_{36}2}-\frac{\log_2 9}{\log_{72} 2} .

2) Найдите

1. \log_8 9, если \log_{18} 12=a.

2. \log_{250} 120, если \log_9 20=a и \lg 2=b.

3) Выясните, какое число больше

1. \displaystyle \log_2\frac{1}{7} или \log_2\frac{1}{9}.

2. \log_{1/3} 5 или \log_{1/5} 3.

3. \log_{1/7} 3 или \log_{1/8} 3.

4. \log_9 80 или \log_7 50.

5. \log_6 5+\log_5 6 или 2.

6. \log_3^2 5-\log_3 5 или 1.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение