30. Определение и свойства степени

Определение. Пусть a>0,a\ne 1,x\in\mathbb{R}. Пусть f – показательная функция с основанием a. Тогда f(x)=a^x; 1^x=1; если x>0, то 0^x=0.

Если a<0, то a^0=1; если a<0,n\in\mathbb{Z},n<0, то \displaystyle a^n=\frac{1}{a^{-n}}.

Теорема. Пусть a,b>0, x_1,x_2\in\mathbb{R}. Тогда

1) a^{x_1+x_2}=a^{x_1}\cdot a^{x_2};

2) \displaystyle a^{x_1-x_2}=\frac{a^{x_1}}{a^{x_2}};

3) a^{x_1x_2}=\left( a^{x_1}\right)^{x_2};

4) (ab)^{x_1}=a^{x_1}b^{x_1};

5) \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x_1}=\frac{a^{x_1}}{b^{x_1}}.

Доказательство. 1) Если a=1, это очевидно; если a\ne1, то пусть f – показательная функция с основанием a.

Тогда левая часть равенства – это f(x_1+x_2), а правая – f(x_1)\cdot f(x_2). Равенство следует из определения показательной функции.

2) \displaystyle a^{x_1-x_2}\cdot a^{x_2}=a^{x_1-x_2+x_2}=a^{x_1}\Rightarrow a^{x_1-x_2}=\frac{a^{x_1}}{a^{x_2}}.

3) 1. a=1 – равенство очевидно;

2. x_1=0 – равенство очевидно;

3. a\ne1, x_1\ne 0. Рассмотрим функцию f(x)=a^{x_1x}. Докажем, что f – показательная функция. f строго монотонна как композиция строго монотонных функций:

x\mapsto x_1x\qquad (x_1\ne0),

t\mapsto a^t\qquad (a\ne1) .

f(t_1+t_2)=a^{x_1(t_1+t_2)}=a^{x_1t_1+x_2t_2}=a^{x_1t_1}\cdot a^{x_1t_2}=f(t_1)\cdot f(t_2) .

Основание f: f(1)=a^{x_1\cdot 1}=a^{x_1}.

Следовательно, \forall x\ f(x)=\left(a^{x_1}\right)^{x}

x=x_2\qquad a^{x_1x_2}=\left( a^{x_1}\right)^{x_2}.

4. 1) a>1,b>1 или a<1,b<1

Рассмотрим функцию f(x)=a^xb^x. Она строго монотонна, так как является произведением двух положительных функций, которые обе возрастают или обе убывают.

f(x+1+x_2)=a^{x_1+x_2}\cdot b^{x_1+x_2}=a^{x_1}a^{x_2}b^{x_1}b^{x_2}=a^{x_1}b^{x_1}a^{x_2}b^{x_2}=f(x_1)f(x_2) .

Следовательно, f – показательная функция. Ее основание f(1)=a^1\cdot b^1=ab.

\forall x\ f(x)=(ab)^x, т.е. a^x\cdot b^x=(ab)^x.

2) a=1 или b=1 – равенство очевидно.

3) \displaystyle ab=1\ (ab)^x=1;\ a^xb^x=a^x\cdot\left(\frac{1}{a}\right)^x=a^x\cdot\left( a^{-1}\right)^x=

=a^x\cdot a^{-x}=a^{x-x}=a^0=1 .

4) a>1,b<1,ab>1

\displaystyle a^x=\left( ab\cdot\frac{1}{b}\right)=(т.к. \displaystyle ab>1,1/b>1)=
\displaystyle =(ab)^x\cdot\left(\frac{1}{b}\right)^x=<br />
(ab)^x\cdot\left( b^{-1}\right)^x=(ab)^x\cdot b^{-x}=

\displaystyle =\frac{(ab)^x}{b^x}\Rightarrow (ab)^x=a^xb^x .

5) a>1,b<1,ab<1

\displaystyle b^x=\left( ab\cdot\frac{1}{a}\right)^x, ab<1,1/a<1, дальнейшее аналогично пункту 4).

6) a<1,b>1. Аналогично пункту 4) или 5).

5. \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^x=(4))=\left(\frac{a}{b}\cdot b\right)^x=a^x\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x} .

Задачи.

1) Решите уравнения

1. 25^x=5^{3-x} .

2. 3^x\cdot 5^{2x-3}=45 .

3. 3^x\cdot 7^{2-x^2}=21 .

4. 2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}=30 .

5. 3^{2x}-2\cdot 3^x=3 .

6. 4^x+5^{2x+1}=6\cdot10^x .

7. 3^x+4^x=7 .

3) Решите неравенства

1. \displaystyle 2^x > \frac{1}{2} .

2. \displaystyle 3^{x-2} > \frac{2}{5^{2x-1} }.

3. (x^2-x+1)^{x-2} > 1 .

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение