3. Вычисление производных

Теорема. Пусть f,g:X\to\mathbb{R}, a\in X, функции f и g дифференцируемы в точке a. Тогда функции f(x)+g(x), f(x)g(x), \displaystyle{f(x)\over g(x)} дифференцируемы в точке a (последняя в случае g(a)\ne0) и имеют место равенства
\begin{array}{l}<br />
\left.\left( f(x)+g(x)\right)^{\prime}\right|_{x=a}=f^{\prime}(a)+g^{\prime}(a),\\[2mm]<br />
\left.\left( f(x)g(x)\right)^{\prime}\right|_{x=a}=f^{\prime}(a)g(a)+f(a)g^{\prime}(a),\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
\left.\left( {f(x)\over g(x)}\right)^{\prime}\right|_{x=a}={f^{\prime}(a)g(a)-f(a)g^{\prime}(a)\over g^2(a)}.<br />
\end{array}

Доказательство.
\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\lim_{x\to a}{(f(x)+g(x))-(f(a)+g(a))\over x-a}<br />
=\lim_{x\to a}{f(x)-f(a)\over x-a}+\lim_{x\to a}{g(x)-g(a)\over x-a}=\\[3mm]<br />
=f^{\prime}(a)+g^{\prime}(a).<br />
\end{array}

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\lim_{x\to a}{f(x)g(x)-f(a)g(a)\over x-a}=\lim_{x\to<br />
a}{f(x)g(x)-f(a)g(x)+f(a)g(x)-f(a)g(a)\over x-a}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
=\lim_{x\to a}g(x){f(x)-f(a)\over x-a}+\lim_{x\to a}f(a){g(x)-g(a)\over x-a}=g(a)f^{\prime}(a)+f(a)g^{\prime}(a).<br />
\end{array}

Последнее равенство выполняется в  силу непрерывности функции g.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\lim_{x\to a}{1\over x-a}\left[{f(x)\over g(x)}-{f(a)\over<br />
g(a)}\right]=\lim_{x\to a}{1\over x-a}{f(x)g(a)-f(a)g(x)\over<br />
g(x)g(a)}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
=\lim_{x\to a}{1\over x-a}{f(x)g(a)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(a)g(x)\over<br />
g(x)g(a)}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
=\lim_{x\to a}{1\over g(x)g(a)}{g(x)[f(x)-f(a)]-f(x)[g(x)-g(a)]\over x-a}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
={1\over g^2(a)}[g(a)f^{\prime}(a)-f(a)g^{\prime}(a)].<br />
\end{array}

Последнее равенство выполняется в силу непрерывности функции g.

Теорема о производной композиции. Пусть f:X\to\mathbb{R},\ g:Y\to\mathbb{R}, множество значений f содержится в Y, a\in X. Пусть функция f дифференцируема в точке a, g дифференцируема в точке f(a). Тогда функция g\circ f(x)=g(f(x)) дифференцируема в точке a, причем

(g\circ f)^{\prime}(a)=g^{\prime}(f(a))\cdot f^{\prime}(a).

Доказательство. По определению производной

\begin{array}{l}<br />
f(x)-f(a)=(x-a)[f^{\prime}(a)+\alpha(x)],\\[2mm]<br />
\alpha(x)\to 0, x \to a,\\[2mm]<br />
g(y)-g(f(a))=(y-f(a))[g^{\prime}(f(a))+\beta(y)],\\[2mm]<br />
\beta(y)\to 0, y \to f(a).<br />
\end{array}

Поэтому

\begin{array}{l}<br />
(g\circ f)(x)-(g\circ f)(a)=g(f(x))-g(f(a))=\\[2mm]<br />
=(f(x)-f(a))[g^{\prime}(f(a))+\beta(y)]=\\[2mm]<br />
=(x-a)[f^{\prime}(a)+\alpha(x)][g^{\prime}(f(a))+\beta(y)].<br />
\end{array}

При x\to a \alpha(x)\to0. В силу непрерывности функции f(x) в точке a мы имеем также y\to f(a) \Longrightarrow\beta(y)\to0. Переходом к пределу в равенстве

\displaystyle {g\circ f(x)-g\circ f(a)\over x-a}=[f^{\prime}(a)+\alpha(x)][g^{\prime}(f(a))+\beta(y)]

и получаем требуемый результат.

Теорема о производной обратной функции 1. Пусть f:X\to\mathbb{R}, f обратима, Y – множество значений f, f^{-1}:Y\to\mathbb{R}, a\in X. Пусть функция f дифференцируема в точке a, а функция f^{-1} дифференцируема в точке f(a). Тогда f^{\prime}(a)\ne0 и \displaystyle (f^{-1})^{\prime}(f(a))={1\over f^{\prime}(a)}.

Доказательство. \forall x\in X\ f^{-1}(f(x))=x.

Обозначим g(x)\equiv x. Тогда

\begin{array}{l}<br />
f^{-1}\circ f=g,\\[2mm]<br />
(f^{-1}\circ f)^{\prime}(a)=g^{\prime}(a),\\[2mm]<br />
(f^{-1})^{\prime}(f(a))f^{\prime}(a)=1,\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
(f^{-1})^{\prime}(f(a))={1\over f^{\prime}(a)}.<br />
\end{array}

Теорема о производной обратной функции 2. Пусть f:X\to\mathbb{R}, f обратима, Y – множество значений f, f^{-1}:Y\to\mathbb{R}, a\in X. Пусть функция f непрерывна в точке a, а функция f^{-1} непрерывна в точке f(a), f дифференцируема в a и f^{\prime}(a)\ne0. Тогда f^{-1} дифференцируема в точке f(a) и \displaystyle (f^{-1})^{\prime}(f(a))={1\over f^{\prime}(a)}.

Доказательство.

\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(f(a))=\lim_{y\to f(a)}{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(a))\over y-f(a)} .

Возьмем произвольную последовательность y_n\in Y,y_n\to f(a),y_n\ne f(a).

Рассмотрим

\displaystyle {f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(a))\over y_n-f(a)}.

Рассмотрим последовательность (x_n), x_n=f^{-1}(y_n). По непрерывности функции f^{-1} в точке f(a)

x_n\to f^{-1}(f(a))=a .

x_n\ne a, так как y_n\ne f(a), y_n=f(x_n). Тогда

\displaystyle {f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(a))\over y_n-f(a)}={1\over {f(x_n)-f(a)\over x_n-a}} .

Так как \displaystyle {f(x_n)-f(a)\over x-a}\to f^{\prime}(a) и f^{\prime}(a)\ne0 по условию, то

\displaystyle {1\over {f(x_n)-f(a)\over x_n-a}}\to{1\over f^{\prime}(a)}.

Следствие 1. Пусть f:X\to\mathbb{R}, a\in X,c\in\mathbb{R}, f дифференцируема в a. Тогда функция cf дифференцируема в a и

(cf)^{\prime}(a)=cf^{\prime}(a).

Следствие 2. Пусть f,g:X\to\mathbb{R}, a\in X,c\in\mathbb{R}, f и g дифференцируемы в a. Тогда функция f-g дифференцируема в a и

(f-g)^{\prime}(a)=f^{\prime}(a)-g^{\prime}(a).

Задачи. Приведите, если это возможно, примеры функций f и g, удовлетворяющих данным условиям (если это невозможно, объясните, почему):

1) f и g не дифференцируемы в точке x_0, f+g дифференцируема в x_0;

2) f дифференцируема в точке x_0, g не дифференцируема в точке x_0, f+g дифференцируема в x_0;

3) f+g дифференцируема в x_0, g дифференцируема в точке x_0, f-g не дифференцируема в x_0;

4) f+g дифференцируема в x_0, f-g дифференцируема в x_0, f не дифференцируема в точке x_0;

5) f дифференцируема в точке x_0, g не дифференцируема в точке x_0, f\cdot g дифференцируема в точке x_0;

6) f не дифференцируема в точке x_0, g не дифференцируема в точке x_0, f\cdot g дифференцируема в точке x_0;

7) f не дифференцируема в точке x_0, f^2  дифференцируема в точке x_0;

8 ) f дифференцируема в x_0, g дифференцируема в точке x_0, \displaystyle\frac{f}{g} не дифференцируема в x_0;

9) f дифференцируема в x_0, g не дифференцируема в точке x_0, \displaystyle\frac{f}{g} не дифференцируема в x_0;

10) f не дифференцируема в x_0, g дифференцируема в точке x_0, \displaystyle\frac{f}{g} дифференцируема в x_0;

11) f дифференцируема в g(x_0), g не дифференцируема в точке x_0, y=f(g(x)) дифференцируема в x_0;

12) f не дифференцируема в g(x_0), g не дифференцируема в точке x_0, y=f(g(x)) дифференцируема в x_0;

13) y=f(g(x)) дифференцируема в x_0, y=g(f(x)) не дифференцируема в x_0.

Комментариев: 2

  1. 1 zbl:

    У меня не видна формула после “Доказательство. По определению производной” в доказательстве производной композиции (Firefox, Mac OS X).

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение