29. Существование показательных функций

Функция натуральный логарифм, определенная в предыдущем параграфе, обладает следующими свойствами:

она определена на (0;+\infty),

строго возрастает,

принимает все вещественные значения,

\forall a,b>0 \ln(ab)=\ln a+\ln b.

У этой функции есть обратная функция. Она обозначается \exp и называется экспонента. Функция \exp определена на множестве всех вещественных чисел, она строго возрастает. Докажем, что \exp(x_1+x_2)=\exp x_1\cdot\exp x_2. Левая и правая части этого равенства – положительные числа, так как все значения экспоненты положительны. Поэтому достаточно доказать, что равны натуральные логарифмы этих чисел.

\ln(\exp(x_1+x_2))=x_1+x_2,

\ln(\exp x_1\cdot\exp x_2)=\ln(\exp x_1)+\ln(\exp x_2)=x_1+x_2.

Таким образом, экспонента – это показательная функция. Ее основание, \exp(1), обозначается e.

\exp 1=e\Leftrightarrow \ln e=1 .

Теорема. Пусть a>0,a\ne1. Тогда существует показательная функция с основанием a.

Доказательство. Зададим функцию f по формуле f(x)=\exp(x\ln a). Докажем, что f – показательная функция с основанием a. Заметим, что по определению \ln 1=0. Поэтому, если a>1, то \ln a>0, если 0< a< 1, то \ln a < 0

x \mapsto x\ln a – линейная функция.

Она строго возрастает, если a> 1, и строго убывает, если 0< a< 1. Экспонента строго возрастает, следовательно, композиция f(x)=\exp(x\ln a) строго монотонна.

f(x_1+x_2)=\exp((x_1+x_2)\ln a)=\exp(x_1\ln a+x_2\ln a)=
=\exp x_1\ln a\cdot \exp x_2\ln a=f(x_1)\cdot f(x_2) .

Значит, f – показательная функция. Ее основание f(1)=\exp(\ln a)=a.

Следствие. Существование корня (см. \S 25).

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение