Существование показательных функций | Математика, которая мне нравится

29. Существование показательных функций

Функция натуральный логарифм, определенная в предыдущем параграфе, обладает следующими свойствами:

она определена на $(0;+\infty)$ ,

строго возрастает,

принимает все вещественные значения,

$\forall a,b>0$ $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ .

У этой функции есть обратная функция. Она обозначается $\exp$ и называется экспонента. Функция $\exp$ определена на множестве всех вещественных чисел, она строго возрастает. Докажем, что $\exp(x_1+x_2)=\exp x_1\cdot\exp x_2$ . Левая и правая части этого равенства — положительные числа, так как все значения экспоненты положительны. Поэтому достаточно доказать, что равны натуральные логарифмы этих чисел.

$\ln(\exp(x_1+x_2))=x_1+x_2$ ,

$\ln(\exp x_1\cdot\exp x_2)=\ln(\exp x_1)+\ln(\exp x_2)=x_1+x_2$ .

Таким образом, экспонента — это показательная функция. Ее основание, $\exp(1)$ , обозначается $e$ .

$\exp 1=e\Leftrightarrow \ln e=1 .$

Теорема. Пусть $a>0,a\ne1$ . Тогда существует показательная функция с основанием $a$ .

Доказательство. Зададим функцию $f$ по формуле $f(x)=\exp(x\ln a)$ . Докажем, что $f$ — показательная функция с основанием $a$ . Заметим, что по определению $\ln 1=0$ . Поэтому, если $a>1$ , то $\ln a>0$ $x \mapsto x\ln a$ — линейная функция.

Она строго возрастает, если $a> 1$ , и строго убывает, если $0< a< 1$ . Экспонента строго возрастает, следовательно, композиция $f(x)=\exp(x\ln a)$ строго монотонна.