Существование показательных функций | Математика, которая мне нравится

29. Существование показательных функций

Функция натуральный логарифм, определенная в предыдущем параграфе, обладает следующими свойствами:

она определена на $(0;+\infty)$ ,

строго возрастает,

принимает все вещественные значения,

$\forall a,b>0$ $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ .

У этой функции есть обратная функция. Она обозначается $\exp$ и называется экспонента. Функция $\exp$ определена на множестве всех вещественных чисел, она строго возрастает. Докажем, что $\exp(x_1+x_2)=\exp x_1\cdot\exp x_2$ . Левая и правая части этого равенства – положительные числа, так как все значения экспоненты положительны. Поэтому достаточно доказать, что равны натуральные логарифмы этих чисел.

$\ln(\exp(x_1+x_2))=x_1+x_2$ ,

$\ln(\exp x_1\cdot\exp x_2)=\ln(\exp x_1)+\ln(\exp x_2)=x_1+x_2$ .

Таким образом, экспонента – это показательная функция. Ее основание, $\exp(1)$ , обозначается .

$\exp 1=e\Leftrightarrow \ln e=1 .$

Теорема. Пусть $a>0,a\ne1$ . Тогда существует показательная функция с основанием .

Доказательство. Зададим функцию по формуле $f(x)=\exp(x\ln a)$ . Докажем, что – показательная функция с основанием . Заметим, что по определению $\ln 1=0$ . Поэтому, если a>1 , то $\ln a>0$ , если 0< a< 1 , то $\ln a < 0$

$x \mapsto x\ln a$ – линейная функция.

Она строго возрастает, если a> 1 , и строго убывает, если 0< a< 1 . Экспонента строго возрастает, следовательно, композиция $f(x)=\exp(x\ln a)$ строго монотонна.