29. Существование показательных функций
Функция натуральный логарифм, определенная в предыдущем параграфе, обладает следующими свойствами:
она определена на ,
строго возрастает,
принимает все вещественные значения,
.
У этой функции есть обратная функция. Она обозначается и называется экспонента. Функция
определена на множестве всех вещественных чисел, она строго возрастает. Докажем, что
. Левая и правая части этого равенства — положительные числа, так как все значения экспоненты положительны. Поэтому достаточно доказать, что равны натуральные логарифмы этих чисел.
,
.
Таким образом, экспонента — это показательная функция. Ее основание, , обозначается
.
Теорема. Пусть . Тогда существует показательная функция с основанием
.
Доказательство. Зададим функцию по формуле
. Докажем, что
— показательная функция с основанием
. Заметим, что по определению
. Поэтому, если
, то
— линейная функция.
Она строго возрастает, если , и строго убывает, если
. Экспонента строго возрастает, следовательно, композиция
строго монотонна.
Значит, > — показательная функция. Ее основание
.
Следствие. Существование корня (см. ).
Оставьте свой отзыв