Натуральный логарифм | Математика, которая мне нравится

28. Натуральный логарифм

Теорема. Пусть $f:X\to\mathbb{R}$ , – промежуток, функция непрерывна. Тогда у функции есть первообразная.

Рассмотрим функцию f(x)=1/x на промежутке $(0,+\infty)$ . По предыдущей теореме, эа функция имеет первообразную. Все первообразные ее имеют вид F(x)+c . Выберем из всех этих первообразных такую, значение которой при x=1 равно . Такая первообразная найдется (почему?). Назовем ее натуральным логарифмом.

Обозначение: $\ln x$ .

Свойства натурального логарифма

1. Область определения натурального логарифма $(0,+\infty)$ .

2. $\ln 1=0$ .

3. Натуральный логарифм – дифференцируемая функция, и $\forall x>0\ \ln^{\prime}x=1/x$ , $\ln^{\prime}x=1/x>0$ .

4. Натуральный логарифм строго возрастает, так как $\ln^{\prime}x=1/x>0$ .

5. $\forall x,y>=\ \ln xy=\ln x+\ln y$ .

Доказательство. Зафиксируем и докажем, что для любого это равенство выполняется.

$\displaystyle \ln^{\prime}xy=\frac{1}{xy}\cdot y=\frac{1}{x} .$

$\displaystyle (\ln x+\ln y)^{\prime}=\frac{1}{x} .$

Значит, $\ln xy-(\ln x+\ln y)$ – постоянная. Подставим вместо – :

$\ln y-(\ln 1+\ln y)=0 .$

Следовательно, $\ln xy=\ln x+\ln y$ .

6. Натуральный логарифм – функция, выпуклая вверх.

Доказательство. $\ln^{\prime} x=1/x$ убывает.

7. $\forall x>0,y>0$ $\displaystyle \ln\frac{x}{y}=\ln x-\ln y$ .

8. Множество значений натурального логарифма есть вся числовая ось.

Доказательство. Так как функция $\ln x$ непрерывна, то, по сформулированной ранее теореме, множество ее значений – промежуток.

Возьмем произвольное число $\alpha\in\mathbb{R}$ . Нужно доказать, что $\exists x>0$ : $\ln x=\alpha$ . Для этого достаточно доказать, что

$\exists x_1,x_2>0:\ \ln x_1>\alpha,\ln x_2<\alpha .$

$\begin{array}{l} \displaystyle \ln2>0,\ln\frac{1}{2}<0,\\[4mm] \displaystyle \ln 2^n=n\ln2,\ \ln\frac{1}{2^n}=n\ln\frac{1}{2},\\[4mm] \displaystyle \exists n: n\ln 2>\alpha,\ n\ln\frac{1}{2}<\alpha,\\[4mm] \displaystyle x_1=2^n,\ x_2=\frac{1}{2^n}. \end{array}$

Комментарии (RSS) | Трекбек

Комментариев: 12

1 Татьяна:

Добрый день!
Пожалуйста,помогите найти область определения логарифмической функции:
$\log_(\sqrt{3})(-x^2+5*x+6)$

Я решаю так:

Получаю,x-любое число.

В ответе стоит почему-то -1<x < 6

Что я делаю не так?
Спасибо!

[Ответить]
19 Декабрь 2013, 9:23
2 Татьяна:

Извините, имела ввиду логарифм по основанию $\sqrt{3}$

[Ответить]
19 Декабрь 2013, 9:25
3 Татьяна:

Извините,я разобралась.
Не правильно неравенство решила.
С ответом сходится.

[Ответить]
19 Декабрь 2013, 9:43
4 Татьяна:

Добрый день.
Помогите,пожалуйста,как преобразовывать выражения такого типа:
Найти $\log_30 8$ ,если $\lg5=a$ , $\lg3=b$
Понимаю,что нужно перейти к новому основанию
$\log_30 8$ = $\lg8$ /
А что дальше?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 22nd, 2013 at 13:22
Дальше $\lg8=3\lg2,\lg2=1-\lg5,\lg30=1+\lg3$ , получаем $\displaystyle\log_{30}8=\frac{3(1-a)}{1+b}$ .

[Ответить]
22 Декабрь 2013, 9:30
5 Татьяна:

Не получилось набрать-в левой части логарифм 8 по основанию 30.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 22nd, 2013 at 13:23
30 нужно набирать в фигурных скобках.

[Ответить]
22 Декабрь 2013, 9:32
6 Татьяна:

Спасибо,понятно!

[Ответить]
22 Декабрь 2013, 18:26
7 Маргарита:

Помогите ,пожалуйста, выразить “х” из: у=ln((e^x+1)/(e^x-1))

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 11th, 2015 at 18:45
$\displaystyle e^y=\frac{e^x+1}{e^x-1}$ ,
,
.
Надеюсь, дальше понятно, что делать?

[Ответить]
7 Декабрь 2015, 19:08
8 Ирина:

Помогите решить, пожалуйста
Найти область определения z=ln(x*ln(x-y))

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 23:58
$x-y>0,\mbox{\rm ln}(x-y)>0$ , откуда или

[Ответить]
17 Май 2016, 23:37