28. Натуральный логарифм

Теорема. Пусть f:X\to\mathbb{R}, X — промежуток, функция f непрерывна. Тогда у функции f есть первообразная.

Рассмотрим функцию f(x)=1/x на промежутке (0,+\infty). По предыдущей теореме, эта функция имеет первообразную. Все первообразные ее имеют вид F(x)+c. Выберем из всех этих первообразных такую, значение которой при x=1 равно 0. Такая первообразная найдется (почему?). Назовем ее натуральным логарифмом.

Обозначение: \ln x.

Свойства натурального логарифма

1. Область определения натурального логарифма (0,+\infty).

2. \ln 1=0.

3. Натуральный логарифм — дифференцируемая функция, и \forall x>0\ \ln^{\prime}x=1/x, \ln^{\prime}x=1/x>0.

4. Натуральный логарифм строго возрастает, так как \ln^{\prime}x=1/x>0.

5. \forall x,y>=\ \ln xy=\ln x+\ln y.

Доказательство. Зафиксируем y и докажем, что для любого x это равенство выполняется.

    \[\ln^{\prime}xy=\frac{1}{xy}\cdot y=\frac{1}{x} .\]

    \[(\ln x+\ln y)^{\prime}=\frac{1}{x} .\]

Значит, \ln xy-(\ln x+\ln y) — постоянная. Подставим вместо x1:

    \[\ln y-(\ln 1+\ln y)=0 .\]

Следовательно, \ln xy=\ln x+\ln y.

6. Натуральный логарифм — функция, выпуклая вверх.

Доказательство. \ln^{\prime} x=1/x убывает.

7. \forall x>0,y>0 \displaystyle \ln\frac{x}{y}=\ln x-\ln y.

8. Множество значений натурального логарифма есть вся числовая ось.

Доказательство. Так как функция \ln x непрерывна, то, по сформулированной ранее теореме, множество ее значений — промежуток.

Возьмем произвольное число \alpha\in\mathbb{R}. Нужно доказать, что \exists x>0: \ln x=\alpha. Для этого достаточно доказать, что

    \[\exists x_1,x_2>0:\ \ln x_1>\alpha,\ln x_2<\alpha .\]

    \[\begin{array}{l} \displaystyle \ln2>0,\ln\frac{1}{2}<0,\\[4mm] \displaystyle \ln 2^n=n\ln2,\ \ln\frac{1}{2^n}=n\ln\frac{1}{2},\\[4mm] \displaystyle \exists n: n\ln 2>\alpha,\ n\ln\frac{1}{2}<\alpha,\\[4mm] \displaystyle x_1=2^n,\ x_2=\frac{1}{2^n}. \end{array}\]

Комментариев: 12

  1. 1 Татьяна:

    Добрый день!
    Пожалуйста,помогите найти область определения логарифмической функции:

        \[\log_(\sqrt{3})(-x^2+5*x+6)\]

    Я решаю так:

        \[(-x^2+5*x+6)>0\]

    Получаю,x-любое число.

    В ответе стоит почему-то -1<x < 6

    Что я делаю не так?
    Спасибо!

    [Ответить]

  2. 2 Татьяна:

    Извините, имела ввиду логарифм по основанию

        \[\sqrt{3}\]

    [Ответить]

  3. 3 Татьяна:

    Извините,я разобралась.
    Не правильно неравенство решила.
    С ответом сходится.

    [Ответить]

  4. 4 Татьяна:

    Добрый день.
    Помогите,пожалуйста,как преобразовывать выражения такого типа:
    Найти

        \[\log_30 8\]

    ,если

        \[\lg5=a\]

    ,

        \[\lg3=b\]

    Понимаю,что нужно перейти к новому основанию

        \[\log_30 8\]

    =

        \[\lg8\]

    /

        \[lg30\]

    А что дальше?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Дальше

        \[\lg8=3\lg2,\lg2=1-\lg5,\lg30=1+\lg3\]

    , получаем

        \[\displaystyle\log_{30}8=\frac{3(1-a)}{1+b}\]

    .

    [Ответить]

  5. 5 Татьяна:

    Не получилось набрать-в левой части логарифм 8 по основанию 30.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    30 нужно набирать в фигурных скобках.

    [Ответить]

  6. 6 Татьяна:

    Спасибо,понятно!

    [Ответить]

  7. 7 Маргарита:

    Помогите ,пожалуйста, выразить “х” из: у=ln((e^x+1)/(e^x-1))

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

        \[\displaystyle e^y=\frac{e^x+1}{e^x-1}\]

    ,

        \[e^y(e^x-1)=e^x+1\]

    ,

        \[e^x(e^y-1)=e^y+1\]

    .
    Надеюсь, дальше понятно, что делать? :-)

    [Ответить]

  8. 8 Ирина:

    Помогите решить, пожалуйста
    Найти область определения z=ln(x*ln(x-y))

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

        \[x-y>0,\mbox{\rm ln}(x-y)>0\]

    , откуда

        \[x>0,x>1+y\]

    или

        \[y<x<1,x<1+y\]

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение