28. Натуральный логарифм
Теорема. Пусть ,
— промежуток, функция
непрерывна. Тогда у функции
есть первообразная.
Рассмотрим функцию на промежутке
. По предыдущей теореме, эта функция имеет первообразную. Все первообразные ее имеют вид
. Выберем из всех этих первообразных такую, значение которой при
равно
. Такая первообразная найдется (почему?). Назовем ее натуральным логарифмом.
Обозначение: .
Свойства натурального логарифма
1. Область определения натурального логарифма .
2. .
3. Натуральный логарифм — дифференцируемая функция, и ,
.
4. Натуральный логарифм строго возрастает, так как .
5. .
Доказательство. Зафиксируем и докажем, что для любого
это равенство выполняется.
Значит, — постоянная. Подставим вместо
—
:
Следовательно, .
6. Натуральный логарифм — функция, выпуклая вверх.
Доказательство. убывает.
7.
.
8. Множество значений натурального логарифма есть вся числовая ось.
Доказательство. Так как функция непрерывна, то, по сформулированной ранее теореме, множество ее значений — промежуток.
Возьмем произвольное число . Нужно доказать, что
:
. Для этого достаточно доказать, что
1 Татьяна:
Добрый день!
Пожалуйста,помогите найти область определения логарифмической функции:
Я решаю так:
Получаю,x-любое число.
В ответе стоит почему-то -1<x < 6
Что я делаю не так?
Спасибо!
[Ответить]
19 Декабрь 2013, 9:232 Татьяна:
Извините, имела ввиду логарифм по основанию
[Ответить]
19 Декабрь 2013, 9:253 Татьяна:
Извините,я разобралась.
Не правильно неравенство решила.
С ответом сходится.
[Ответить]
19 Декабрь 2013, 9:434 Татьяна:
Добрый день.
,если
,

Помогите,пожалуйста,как преобразовывать выражения такого типа:
Найти
Понимаю,что нужно перейти к новому основанию
А что дальше?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 22nd, 2013 at 13:22
Дальше
, получаем
.
[Ответить]
5 Татьяна:
Не получилось набрать-в левой части логарифм 8 по основанию 30.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 22nd, 2013 at 13:23
30 нужно набирать в фигурных скобках.
[Ответить]
6 Татьяна:
Спасибо,понятно!
[Ответить]
22 Декабрь 2013, 18:267 Маргарита:
Помогите ,пожалуйста, выразить “х” из: у=ln((e^x+1)/(e^x-1))
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 11th, 2015 at 18:45
Надеюсь, дальше понятно, что делать?
[Ответить]
8 Ирина:
Помогите решить, пожалуйста
Найти область определения z=ln(x*ln(x-y))
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 23:58
[Ответить]