27. Теорема единственности
Теорема. Не существует двух различных показательных функций с одним и тем же основанием.
Доказательство. Пусть и
— показательные функции, причем
. Нужно доказать, что для любого
.
1. Пусть , тогда
и
строго возрастают. Если
— положительное рациональное число
то
по свойству 6) ,
по свойству 4) .
Если , то по свойству 7)
Тем самым, для любого рационального
.
Пусть — иррациональное число,
. Возьмем произвольное
и выберем
в промежутке
. Тогда
При левая и правая части неравенства стремятся к нулю, следовательно,
.
2. Пусть . Рассмотрим функции
. Докажем, что
и
— показательные функции.
1) Пусть . Тогда
и
, следовательно,
строго возрастает.
2) .
Аналогично проверяется, что — показательная функция.
Таким образом, показательные функции и
имеют одно и то же основание
, следовательно, по первой части теоремы,
.
Оставьте свой отзыв