Теорема единственности | Математика, которая мне нравится

27. Теорема единственности

Теорема. Не существует двух различных показательных функций с одним и тем же основанием.

Доказательство. Пусть $f$ и $g$ — показательные функции, причем $f(1)=g(1)=a$ . Нужно доказать, что для любого $x$ $f(x)=g(x)$ .

1. Пусть $a>1$ , тогда $f(x)$ и $g(x)$ строго возрастают. Если $r$ — положительное рациональное число

$r>0,\ t\in\mathbb{Q},\ r=\frac{m}{n}\ (m,n\in\mathbb{N}),$

то
по свойству 6) $f(r)=g(r)=\sqrt[n]{a^m}$ ,

по свойству 4) $f(0)=g(0)=1$ .

Если $r<0,\ r\in\mathbb{Q}$ , то по свойству 7)

$f(-r)=g(-r)=\frac{1}{f(r)}=\frac{1}{g(r)}\Rightarrow f(r)=g(r) .$

Тем самым, $f(r)=g(r)$ для любого рационального $r$ .

Пусть $x$ — иррациональное число, $x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ . Возьмем произвольное $n\in\mathbb{N}$ и выберем $r\in\mathbb{Q}$ в промежутке $\displaystyle \left( x-\frac{1}{n},x\right)$ . Тогда

$\begin{array}{l} \displaystyle r<x<r+\frac{1}{n},\\[4mm] \displaystyle f(r)<f(x)<f\left( r+\frac{1}{n}\right),\\[4mm] \displaystyle g(r)<g(x)<g\left( r+\frac{1}{n}\right),\\[4mm] \displaystyle |f(x)-g(x)|<f\left( r+\frac{1}{n}\right)-f(r)=f(r)\cdot f\left(\frac{1}{n}\right)-f(r)=f(r)\left( f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right)=\\[4mm] \displaystyle =f(r)\left(\sqrt[n]{a}-1\right)=f(r)\cdot\frac{a-1}{\sqrt[n]{a^{n-1}}+\sqrt[n]{a^{n-2}}+\ldots+\sqrt[n]{a}+1}<\\[4mm] \displaystyle < f(x)\cdot\frac{a-1}{\underbrace{1+1+\ldots+1}_n}=f(x)\cdot\frac{a-1}{n} ,\\[4mm] \displaystyle 0\le |f(x)-g(x)|<\frac{f(x)(a-1)}{n}. \end{array}$

При $n\to+\infty$ левая и правая части неравенства стремятся к нулю, следовательно, $f(x)=g(x)$ .

2. Пусть $0<a<1$ . Рассмотрим функции $\displaystyle f_1(x)=\frac{1}{f(x)},\ g_1(x)=\frac{1}{g(x)}$ . Докажем, что $f_1$ и $g_1$ — показательные функции.

1) Пусть $x_1>x_2$ . Тогда $0<f(x_1)<f(x_2)$ и $\displaystyle \frac{1}{f(x_1)}>\frac{1}{f(x_2)}$ , следовательно, $f_1$ строго возрастает.

2) $\displaystyle f_1(x_1+x_2)=\frac{1}{f(x_1+x_2)}=\frac{1}{f(x_1)f(x_2)}=f_1(x_1)f_1(x_2)$ .

Аналогично проверяется, что $g_1$ — показательная функция.

$f_1(1)=\frac{1}{f(1)}=\frac{1}{a},\ g_1(1)=\frac{1}{g(1)}=\frac{1}{a} .$

Таким образом, показательные функции $f_1(x)$ и $g_1(x)$ имеют одно и то же основание $\displaystyle \frac{1}{a}>1$ , следовательно, по первой части теоремы, $f_1=g_1\Rightarrow f=g$ .