Математика, которая мне нравится

Определение. Функция f, определенная на \mathbb{R}, называется показательной функцией, если она обладает следующими свойствами:

1. f строго монотонна;

2. \forall\ x_1,x_2\in\mathbb{R}\ f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2).

Число a=f(1) называется основанием показательной функции f.

Свойства показательной функции

1) f(x_1+x_2+\ldots+x_n)=f(x_1)\cdot f(x_2)\times\ldots\times f(x_n).

2) Если n\in\mathbb{N}, то f(nx)=(f(x))^n.

(Доказательство этого свойства сразу следует зи свойства 1)).

3) Все значения показательной функции положительны.

Доказательство.

Предположим, что f(x_0)=0. Тогда для любого x f(x)=f((x-x_0)+x_0)=f(x-x_0)\cdot f(x_0)=0. Это противоречит строгой монотонности функции f. Ни одно значение f не может равняться нулю, следовательно, все ее значения положительны.

4) f(0)=1.

Доказательство.

Так как f(0)\ne0, то f(0)=1.

5) a>0,a\ne1.

Доказательство. a=f(1) по свойству 3). f(1)\ne f(0), так как f строго монотонна, т.е. a\ne1.

6) Пусть m,n\in\mathbb{N}. Тогда \displaystyle f\left(\frac{m}{n}\right)=\sqrt[n]{a^m}.

Доказательство. Нужно доказать, что \displaystyle f\left(\frac{m}{n}\right)\ge0 и что \displaystyle f\left(\frac{m}{n}\right)^n=a^m.

Первое утверждение следует из свойтва 3).

(св-во 2))

(св-во 2))

Примечание. Таким образом, если существует показательная функция с основанием a, то существует и корень степени n из числа a.

7) \displaystyle f(-x)=\frac{1}{f(x)}.

Доказательство.

(по свойству 4)).

8 ) Если a>1, то f строго возрастает, если a<1, то f строго убывает.

Доказательство. Нужно сравнить f(0)=1 и f(1)=a.