Определение показательной функции | Математика, которая мне нравится

26. Определение показательной функции

Определение. Функция $f$ , определенная на $\mathbb{R}$ , называется показательной функцией, если она обладает следующими свойствами:

1. $f$ строго монотонна;

2. $\forall\ x_1,x_2\in\mathbb{R}\ f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$ .

Число $a=f(1)$ называется основанием показательной функции $f$ .

Свойства показательной функции

1) $f(x_1+x_2+\ldots+x_n)=f(x_1)\cdot f(x_2)\times\ldots\times f(x_n)$ .

2) Если $n\in\mathbb{N}$ , то $f(nx)=(f(x))^n$ .

(Доказательство этого свойства сразу следует зи свойства 1)).

3) Все значения показательной функции положительны.

Доказательство.

$\displaystyle f(x)=f\left(2\cdot\frac{x}{2}\right)=\left( f\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2\ge0 .$

Предположим, что $f(x_0)=0$ . Тогда для любого $x$ $>f(x)=f((x-x_0)+x_0)=f(x-x_0)\cdot f(x_0)=0$ . Это противоречит строгой монотонности функции $f$ . Ни одно значение $f$ не может равняться нулю, следовательно, все ее значения положительны.

4) $f(0)=1$ .

Доказательство.

$f(0)=f(2\cdot0)=f(0)^2 ,$

$f(0)^2=f(0) .$

Так как $f(0)\ne0$ , то $f(0)=1$ .

5) $a>0,a\ne1$ .

Доказательство. $a=f(1)$ по свойству 3). $f(1)\ne f(0)$ , так как $f$ строго монотонна, т.е. $a\ne1$ .

6) Пусть $m,n\in\mathbb{N}$ . Тогда $\displaystyle f\left(\frac{m}{n}\right)=\sqrt[n]{a^m}$ >.

Доказательство. Нужно доказать, что $\displaystyle f\left(\frac{m}{n}\right)\ge0$ и что $\displaystyle f\left(\frac{m}{n}\right)^n=a^m$ .

Первое утверждение следует из свойтва 3).

$\displaystyle f\left(\frac{m}{n}\right)^n=$ (св-во 2)) $=\displaystyle f\left( n\cdot\frac{m}{n}\right)=f(m)=f(m\cdot 1)=$ (св-во 2)) $=f(1)^m=a^m .$ Примечание. Таким образом, если существует показательная функция с основанием $a$ , то существует и корень степени $n$ > из числа $a$ .