26. Определение показательной функции
Определение. Функция , определенная на
, называется показательной функцией, если она обладает следующими свойствами:
1. строго монотонна;
2. .
Число называется основанием показательной функции
.
Свойства показательной функции
1) .
2) Если , то
.
(Доказательство этого свойства сразу следует зи свойства 1)).
3) Все значения показательной функции положительны.
Доказательство.
Предположим, что . Тогда для любого
. Это противоречит строгой монотонности функции
. Ни одно значение
не может равняться нулю, следовательно, все ее значения положительны.
4) .
Доказательство.
Так как , то
.
5) .
Доказательство. по свойству 3).
, так как
строго монотонна, т.е.
.
6) Пусть . Тогда
>.
Доказательство. Нужно доказать, что и что
.
Первое утверждение следует из свойтва 3).
(св-во 2))
(св-во 2))
Примечание. Таким образом, если существует показательная функция с основанием
, то существует и корень степени
> из числа
.
7) .
Доказательство.
(по свойству 4)).
8 ) Если , то
строго возрастает, если
, то
строго убывает.
Доказательство. Нужно сравнить и
.
Оставьте свой отзыв