25. Показательные и логарифмические функции. Степени и корни

Определение. Пусть a\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}. Если n\ge2, то a^n=a\cdot a\times\ldots\times a, a^1=a.

Свойства степени

Пусть a,b\in\mathbb{R},m,n\in\mathbb{N}. Тогда

1. a^{m+n}=a^m\cdot a^n;

2. \displaystyle m>n,a\ne 0\Rightarrow a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n};

3. (ab)^n=a^n\cdot b^n;

4. \displaystyle b\ne0\Rightarrow \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n};

5. \left( a^m\right)^n=a^{mn};

6. a>b>0\Rightarrow a^n>b^n.

Доказательство следует из определения (свойства 1-5, свойство 6 – свойство неравенств).

Определение. Пусть a\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N},n\ge2. Число b называется корнем степени n из числа a, если b^n=a.

Теорема. Пусть a\ge0,n\in\mathbb{N},n\ge2. Тогда существует единственный неотрицательный корень степени n из числа a.

Он обозначается \sqrt[n]{a} и называется арифметическим корнем степени n из a.

Доказательство.

I. Существование. При a=0,a=1 существование корня очевидно, при остальных a будет доказано позже.

II. Единственность. Пусть существует два различных арифметических корня степени n из ab_1,b_2\ge0: b_1^n=b_2^n=a.  Если a=0, то очевидно, что b_1=b_2=0. Пусть a>0, тогда b_1>0,b_2>0. Пусть, например, b_1>b_2. Тогда b_1^n>b_2^n. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Комментариев: 29

  1. 1 Татьяна:

    Добрый день!
    Пожалуйста,подскажите метод решения систем уравнений такого типа:

    5^{x+1}*3^y=75
    3^x*5^{y-1}=3

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Нужно правые части уравнений разложить на простые множители, дальше сравнивать показатели слева и справа.

    [Ответить]

  2. 2 Татьяна:

    Получается так:
    5^{x+1}*3^y=5^2*3^1
    3^x*5^{y-1}=3*5^0

    x=1, y=1

    Спасибо!

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Это, к сожалению, неправильное решение.
    Где гарантия, что нет других пар?
    .
    Кроме того, подумайте, зачем тогда нужны два уравнения, а не одно?
    .
    —————————–
    Для правильного решения перемножьте два исходных уравнения.
    .
    Дальней шее – нетрудно.
    .
    Получится произведение двух степеней с показателем степени x+y.
    .
    А затем получаем одну степень с основанием 15 и показателем x+y.
    .
    Выразите одну переменную через другую. Получите уравнение с одной переменной.

    [Ответить]

  3. 3 Татьяна:

    Да,Вы правы.Гарантий,что есть другие пары,нет.
    Сейчас попробую решить тем способом,на который Вы мне указываете и напишу,что получится.

    [Ответить]

    Татьяна Reply:

    5^{x++1}*3^y*3^x*5{y-1}=75*3
    15^{x+y}=225
    Получаем систему:
    x+y=2
    x+1=2

    x=1
    y=1

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Начало правильное (хотя в записи имеются опечатки).
    Там, где получено первое уравнение: x+y=2
    Но непонятно, откуда получено второе уравнение:
    x+1=2.
    .
    Выразите одну переменную через другую.
    .
    Или разделите (кроме того, что уже перемножили) два исходных уравнения друг на друга.
    Так получится простая система из двух уравнений с двумя неизвестными.

    [Ответить]

    Татьяна Reply:

    Постараюсь без опечаток:
    x+y=2 , значит x=2-y
    Подставляю в первое уравнение
    5^{2-y+1}*3^y=5^2*3^1
    Видно,что 3-у=2, и у=1.
    Т.е. х=1,у=1.

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Это не совсем правильно.
    Так приравнивать показатели степеней нельзя, потому что снова не обосновано, что нет других корней.
    .
    Показываю правильное продолжение.
    {5}^{3-y}\times {3}^{y}=75.
    \frac{{5}^{3}}{{5}^{y}}\times{3}^{y}=75.
    {\left(\frac{3}{5} \right)}^{y}=\frac{75}{123}.
    {\left(\frac{3}{5} \right)}^{y}=\frac{3}{5}.
    y=1.

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    В третьем равенстве (в знаменателе) должно быть число 125, конечно.

    [Ответить]

  4. 4 Татьяна:

    Помогите,пожалуйста, еще с одним:
    27^x+12^x=2*8^x
    Я разделила обе части на 8^x ^
    (3/2)^{3x}+(3/2)^{x}=2
    Заменив 3/2 на t, получаю
    t^3+t-2=0
    Получается,что надо решать кубическое уравнение…
    Может,есть способ проще?
    Спасибо.

    [Ответить]

  5. 5 Лейб:

    Задача почти решена. Не нужно даже вводить обозначение.
    .
    Из второго уравнения ясно, что число x=0 наверняка является корнем (возможно, одним из корней).
    .
    А теперь – САМОЕ ГЛАВНОЕ.
    .
    Других корней быть не может, так как слева во втором уравнении возрастающая функция (как сумма двух возрастающих функций).
    А справа постоянная функция.
    Поэтому графики этих функций не могут иметь БОЛЕЕ, ЧЕМ ОДНУ общую точку.

    [Ответить]

  6. 6 Татьяна:

    Спасибо!

    [Ответить]

  7. 7 Сергей:

    Татьяна,милая Татьяна…Это лирика… А нужна математика.
    Уравнение то кубическое,но какое?
    Двоечку записываем как 1+1 и…расскладываем на множители с общим (t-1).Имеем: (t-1)(t^2+t+1)=0.
    Далее,дело техники…
    Р.S. И как это уважаемый Лейб Александрович не заметил?

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Я предложил такое решение, потому что в пункте 4 Татьяна спрашивала:
    - Может,есть способ проще?
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Кроме того, кубическое уравнение (а также и разложение на множители) уже не поможет, если получится, например, такое уравнение:
    .
    {(3/2)}^{7x}+{(3/2)}^{x}=2
    .

    [Ответить]

  8. 8 Татьяна:

    Спасибо,действительно,можно на множители разложить…Век живи -век учись!

    [Ответить]

  9. 9 Татьяна:

    Будьте добры,помогите,пожалуйста,разобраться:
    1.Решить неравенство:
    11^{sqrt[x+6]}>11^{sqrt[x]}SS</p>
<p>Вроде все сводится к решению неравенства<br />
x^2-x-6<0$$
    и -2<x<3

    но это решение не подходит при отрицательном х.
    Как правильно это оформить?
    Рассматривать 2 случая:для отрицательного х и положительного х?

    [Ответить]

  10. 10 Татьяна:

    Нет,не правильно записала…
    Сейчас перепишу условие…
    11^{\sqrt{x+6}}>11^x

    вроде все сводится к решению неравенства

    x^2-x-6<0

    но это не работает при отрицательном х.
    Получается,нужно рассматривать оба случая-для положительного х и для отрицательного х (-6<x<0)
    Как это оформить?
    Спасибо.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Татьяна, все сводится к решению иррационального неравенства \sqrt{x+6}>x, а вот дальше уже нужно рассматривать два случая: 1) обе части неравенства неотрицательны, и тогда возводим в квдрат, получая то, что Вы написали, 2) x<0, и тогда подходят все допустимые x. Смотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/algebra-10-klass/17-irracionalnye-uravneniya-i-neravenstva/

    [Ответить]

  11. 11 Татьяна:

    Правильно ли будет,если я запишу так:
    1.Обе части неравенства положительны:
    \sqrt{x+6}>x

    x+6>x^2
    x^2-x-6<0
    Корнями являются
    x_1=-2
    x_2=3
    Получается,что -2<x<3

    2.При х-6

    И решением всего неравенства является :
    -6<x<3

    [Ответить]

  12. 12 Татьяна:

    Так.Переписываю п.2-почему-то отобразился не корректно:
    2.При x-6,
    получаем: x принадлежит промежутку (-6;0)

    Отсюда следует,что общим решением неравенства является промежуток (-6;3)?

    [Ответить]

  13. 13 Татьяна:

    2.Не получается записать как надо.
    В общем, при х меньше нуля,но больше минус 6,мы получаем это решение,которое я указала выше?
    Спасибо.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    При -6\le x<0 у Вас все верно, кроме отсутствия точки -6. А вот в первом случае Вы забыли условие x\ge0, поэтому там x\in[0,3). Ответ: x\in[-6,3).

    [Ответить]

  14. 14 Татьяна:

    И вот еще одно неравенство.Никак не решается.Что делать?
    \sqrt{36^x-6^{x-2}}>36-6^x
    Понимаю,что нужно возвести обе части в квадрат:
    36^x-6^{x-2}>(36-6^x)^2

    Как избавиться от 6^{x-2} в левой части?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    В квадрат можно возводить, только если обе части одного знака. 6^{x-2}=6^x/36.

    [Ответить]

  15. 15 Татьяна:

    Да,я понимаю.
    При возведении в квадрат получается вот что:

    6^{2x}-((6^x)/(6^2))>36^2-2*36*6^x+6^{2x}
    6^4-2+6^2*6^x+((6^x)/(6^2))<0
    6^6-2*6^4*6^x+6^x<0
    Как привести это к основанию 6?
    Спасибо.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    А Вы логарифмы изучали?

    [Ответить]

  16. 16 Татьяна:

    Логарифмы еще не изучали, начнем в ближайшее время.
    Это можно решить только через логарифм?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, в том случае, о котором Вы спрашиваете, x выражается через логарифм по основанию 6.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение