Показательные и логарифмические функции. Степени и корни

25. Показательные и логарифмические функции. Степени и корни

Определение. Пусть $a\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}$ . Если $n\ge2$ , то $a^n=a\cdot a\times\ldots\times a$ , a^1=a .

Свойства степени

Пусть $a,b\in\mathbb{R},m,n\in\mathbb{N}$ . Тогда

1. $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ ;

2. $\displaystyle m>n,a\ne 0\Rightarrow a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$ ;

3. $(ab)^n=a^n\cdot b^n$ ;

4. $\displaystyle b\ne0\Rightarrow \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ ;

5. $\left( a^m\right)^n=a^{mn}$ ;

6. $a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$ .

Доказательство следует из определения (свойства 1-5, свойство 6 – свойство неравенств).

Определение. Пусть $a\in\mathbb{R},n\in\mathbb{N},n\ge2$ . Число называется корнем степени из числа , если b^n=a .

Теорема. Пусть $a\ge0,n\in\mathbb{N},n\ge2$ . Тогда существует единственный неотрицательный корень степени из числа .

Он обозначается $\sqrt[n]{a}$ и называется арифметическим корнем степени из .

Доказательство.

I. Существование. При a=0,a=1 существование корня очевидно, при остальных будет доказано позже.

II. Единственность. Пусть существует два различных арифметических корня степени из – $b_1,b_2\ge0$ : b_1^n=b_2^n=a . Если a=0 , то очевидно, что b_1=b_2=0 . Пусть a>0 , тогда b_1>0,b_2>0 . Пусть, например, b_1>b_2 . Тогда b_1^n>b_2^n . Полученное противоречие доказывает утверждение.

Комментарии (RSS) | Трекбек

Комментариев: 29

1 Татьяна:

Добрый день!
Пожалуйста,подскажите метод решения систем уравнений такого типа:

$5^{x+1}*3^y=75$
$3^x*5^{y-1}=3$

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 20th, 2013 at 14:36
Нужно правые части уравнений разложить на простые множители, дальше сравнивать показатели слева и справа.

[Ответить]
20 Ноябрь 2013, 12:01
2 Татьяна:

Получается так:
$5^{x+1}*3^y=5^2*3^1$
$3^x*5^{y-1}=3*5^0$

x=1, y=1

Спасибо!

[Ответить]
Лейб Reply:
Ноябрь 21st, 2013 at 8:21
Это, к сожалению, неправильное решение.
Где гарантия, что нет других пар?
.
Кроме того, подумайте, зачем тогда нужны два уравнения, а не одно?
.
—————————–
Для правильного решения перемножьте два исходных уравнения.
.
Дальней шее – нетрудно.
.
Получится произведение двух степеней с показателем степени .
.
А затем получаем одну степень с основанием и показателем .
.
Выразите одну переменную через другую. Получите уравнение с одной переменной.

[Ответить]
21 Ноябрь 2013, 7:53
3 Татьяна:

Да,Вы правы.Гарантий,что есть другие пары,нет.
Сейчас попробую решить тем способом,на который Вы мне указываете и напишу,что получится.

[Ответить]
Татьяна Reply:
Ноябрь 24th, 2013 at 7:54
$5^{x++1}*3^y*3^x*5{y-1}=75*3$
$15^{x+y}=225$
Получаем систему:

[Ответить]
Лейб Reply:
Ноябрь 24th, 2013 at 8:23
Начало правильное (хотя в записи имеются опечатки).
Там, где получено первое уравнение:
Но непонятно, откуда получено второе уравнение:
.
.
Выразите одну переменную через другую.
.
Или разделите (кроме того, что уже перемножили) два исходных уравнения друг на друга.
Так получится простая система из двух уравнений с двумя неизвестными.

[Ответить]
Татьяна Reply:
Ноябрь 24th, 2013 at 15:12
Постараюсь без опечаток:
x+y=2 , значит x=2-y
Подставляю в первое уравнение
$5^{2-y+1}*3^y=5^2*3^1$
Видно,что 3-у=2, и у=1.
Т.е. х=1,у=1.

[Ответить]
Лейб Reply:
Ноябрь 24th, 2013 at 18:21
Это не совсем правильно.
Так приравнивать показатели степеней нельзя, потому что снова не обосновано, что нет других корней.
.
Показываю правильное продолжение.
${5}^{3-y}\times {3}^{y}=75$ .
$\frac{{5}^{3}}{{5}^{y}}\times{3}^{y}=75$ .
${\left(\frac{3}{5} \right)}^{y}=\frac{75}{123}$ .
${\left(\frac{3}{5} \right)}^{y}=\frac{3}{5}$ .
.

[Ответить]
Лейб Reply:
Ноябрь 24th, 2013 at 18:24
В третьем равенстве (в знаменателе) должно быть число 125, конечно.

[Ответить]
21 Ноябрь 2013, 8:27
4 Татьяна:

Помогите,пожалуйста, еще с одним:

Я разделила обе части на ^
$(3/2)^{3x}+(3/2)^{x}=2$
Заменив 3/2 на t, получаю

Получается,что надо решать кубическое уравнение…
Может,есть способ проще?
Спасибо.

[Ответить]
24 Ноябрь 2013, 7:58
5 Лейб:

Задача почти решена. Не нужно даже вводить обозначение.
.
Из второго уравнения ясно, что число наверняка является корнем (возможно, одним из корней).
.
А теперь – САМОЕ ГЛАВНОЕ.
.
Других корней быть не может, так как слева во втором уравнении возрастающая функция (как сумма двух возрастающих функций).
А справа постоянная функция.
Поэтому графики этих функций не могут иметь БОЛЕЕ, ЧЕМ ОДНУ общую точку.

[Ответить]
24 Ноябрь 2013, 8:32
6 Татьяна:

Спасибо!

[Ответить]
24 Ноябрь 2013, 15:12
7 Сергей:

Татьяна,милая Татьяна…Это лирика… А нужна математика.
Уравнение то кубическое,но какое?
Двоечку записываем как 1+1 и…расскладываем на множители с общим (t-1).Имеем: (t-1)(t^2+t+1)=0.
Далее,дело техники…
Р.S. И как это уважаемый Лейб Александрович не заметил?

[Ответить]
Лейб Reply:
Ноябрь 29th, 2013 at 14:55
Я предложил такое решение, потому что в пункте 4 Татьяна спрашивала:
- Может,есть способ проще?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Кроме того, кубическое уравнение (а также и разложение на множители) уже не поможет, если получится, например, такое уравнение:
.
${(3/2)}^{7x}+{(3/2)}^{x}=2$
.

[Ответить]
29 Ноябрь 2013, 12:14
8 Татьяна:

Спасибо,действительно,можно на множители разложить…Век живи -век учись!

[Ответить]
1 Декабрь 2013, 19:11
9 Татьяна:

Будьте добры,помогите,пожалуйста,разобраться:
1.Решить неравенство:
$11^{sqrt[x+6]}>11^{sqrt[x]}SS</p> <p>Вроде все сводится к решению неравенства<br />$ x^2-x-6<0$$
и -2<x<3

но это решение не подходит при отрицательном х.
Как правильно это оформить?
Рассматривать 2 случая:для отрицательного х и положительного х?

[Ответить]
2 Декабрь 2013, 13:57
10 Татьяна:

Нет,не правильно записала…
Сейчас перепишу условие…
$11^{\sqrt{x+6}}>11^x$

вроде все сводится к решению неравенства

но это не работает при отрицательном х.
Получается,нужно рассматривать оба случая-для положительного х и для отрицательного х (-6<x<0)
Как это оформить?
Спасибо.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 2nd, 2013 at 15:04
Татьяна, все сводится к решению иррационального неравенства $\sqrt{x+6}>x$ , а вот дальше уже нужно рассматривать два случая: 1) обе части неравенства неотрицательны, и тогда возводим в квдрат, получая то, что Вы написали, 2) , и тогда подходят все допустимые . Смотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/algebra-10-klass/17-irracionalnye-uravneniya-i-neravenstva/

[Ответить]
2 Декабрь 2013, 14:02
11 Татьяна:

Правильно ли будет,если я запишу так:
1.Обе части неравенства положительны:
$\sqrt{x+6}>x$

Корнями являются

Получается,что -2<x<3

2.При х-6

И решением всего неравенства является :
-6<x<3

[Ответить]
2 Декабрь 2013, 17:26
12 Татьяна:

Так.Переписываю п.2-почему-то отобразился не корректно:
2.При x-6,
получаем: x принадлежит промежутку (-6;0)

Отсюда следует,что общим решением неравенства является промежуток (-6;3)?

[Ответить]
2 Декабрь 2013, 17:33
13 Татьяна:

2.Не получается записать как надо.
В общем, при х меньше нуля,но больше минус 6,мы получаем это решение,которое я указала выше?
Спасибо.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 2nd, 2013 at 19:23
При $-6\le x<0$ у Вас все верно, кроме отсутствия точки . А вот в первом случае Вы забыли условие $x\ge0$ , поэтому там $x\in[0,3)$ . Ответ: $x\in[-6,3)$ .

[Ответить]
2 Декабрь 2013, 17:35
14 Татьяна:

И вот еще одно неравенство.Никак не решается.Что делать?
$\sqrt{36^x-6^{x-2}}>36-6^x$
Понимаю,что нужно возвести обе части в квадрат:
$36^x-6^{x-2}>(36-6^x)^2$

Как избавиться от $6^{x-2}$ в левой части?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 3rd, 2013 at 20:49
В квадрат можно возводить, только если обе части одного знака. $6^{x-2}=6^x/36$ .

[Ответить]
3 Декабрь 2013, 6:25
15 Татьяна:

Да,я понимаю.
При возведении в квадрат получается вот что:

$6^{2x}-((6^x)/(6^2))>36^2-2*36*6^x+6^{2x}$

Как привести это к основанию 6?
Спасибо.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 4th, 2013 at 11:48
А Вы логарифмы изучали?

[Ответить]
4 Декабрь 2013, 9:51
16 Татьяна:

Логарифмы еще не изучали, начнем в ближайшее время.
Это можно решить только через логарифм?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 4th, 2013 at 13:18
Да, в том случае, о котором Вы спрашиваете, выражается через логарифм по основанию .

[Ответить]
4 Декабрь 2013, 11:57