25. Показательные и логарифмические функции. Степени и корни
Определение. Пусть . Если
, то
,
.
Свойства степени
Пусть . Тогда
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. .
Доказательство следует из определения (свойства 1–5, свойство 6 — свойство неравенств).
Определение. Пусть . Число
называется корнем степени
из числа
, если
.
Теорема. Пусть . Тогда существует единственный неотрицательный корень степени
из числа
.
Он обозначается и называется арифметическим корнем степени
из
.
Доказательство.
I. Существование. При существование корня очевидно, при остальных
будет доказано позже.
II. Единственность. Пусть существует два различных арифметических корня степени из
—
:
. Если
, то очевидно, что
. Пусть
, тогда
. Пусть, например,
. Тогда
. Полученное противоречие доказывает утверждение.
1 Татьяна:
Добрый день!
Пожалуйста,подскажите метод решения систем уравнений такого типа:
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 20th, 2013 at 14:36
Нужно правые части уравнений разложить на простые множители, дальше сравнивать показатели слева и справа.
[Ответить]
2 Татьяна:
Получается так:
x=1, y=1
Спасибо!
[Ответить]
Лейб Reply:
Ноябрь 21st, 2013 at 8:21
Это, к сожалению, неправильное решение.
.
и показателем
.
Где гарантия, что нет других пар?
.
Кроме того, подумайте, зачем тогда нужны два уравнения, а не одно?
.
—————————–
Для правильного решения перемножьте два исходных уравнения.
.
Дальнейшее – нетрудно.
.
Получится произведение двух степеней с показателем степени
.
А затем получаем одну степень с основанием
.
Выразите одну переменную через другую. Получите уравнение с одной переменной.
[Ответить]
3 Татьяна:
Да,Вы правы.Гарантий,что есть другие пары,нет.
Сейчас попробую решить тем способом,на который Вы мне указываете и напишу,что получится.
[Ответить]
Татьяна Reply:
Ноябрь 24th, 2013 at 7:54
Получаем систему:
[Ответить]
Лейб Reply:
Ноябрь 24th, 2013 at 8:23
Начало правильное (хотя в записи имеются опечатки).
Там, где получено первое уравнение:
Но непонятно, откуда получено второе уравнение:
.
.
Выразите одну переменную через другую.
.
Или разделите (кроме того, что уже перемножили) два исходных уравнения друг на друга.
Так получится простая система из двух уравнений с двумя неизвестными.
[Ответить]
Татьяна Reply:
Ноябрь 24th, 2013 at 15:12
Постараюсь без опечаток:
x+y=2 , значит x=2-y
Подставляю в первое уравнение
Видно,что 3-у=2, и у=1.
Т.е. х=1,у=1.
[Ответить]
Лейб Reply:
Ноябрь 24th, 2013 at 18:21
Это не совсем правильно.
.
.
.
.
.
Так приравнивать показатели степеней нельзя, потому что снова не обосновано, что нет других корней.
.
Показываю правильное продолжение.
[Ответить]
Лейб Reply:
Ноябрь 24th, 2013 at 18:24
В третьем равенстве (в знаменателе) должно быть число 125, конечно.
[Ответить]
4 Татьяна:
Помогите,пожалуйста, еще с одним:
Я разделила обе части на
^
Заменив 3/2 на t, получаю
Получается,что надо решать кубическое уравнение…
Может,есть способ проще?
Спасибо.
[Ответить]
24 Ноябрь 2013, 7:585 Лейб:
Задача почти решена. Не нужно даже вводить обозначение.
.
Из второго уравнения ясно, что число
наверняка является корнем (возможно, одним из корней).
.
А теперь – САМОЕ ГЛАВНОЕ.
.
Других корней быть не может, так как слева во втором уравнении возрастающая функция (как сумма двух возрастающих функций).
А справа постоянная функция.
Поэтому графики этих функций не могут иметь БОЛЕЕ, ЧЕМ ОДНУ общую точку.
[Ответить]
24 Ноябрь 2013, 8:326 Татьяна:
Спасибо!
[Ответить]
24 Ноябрь 2013, 15:127 Сергей:
Татьяна,милая Татьяна…Это лирика… А нужна математика.
Уравнение то кубическое,но какое?
Двоечку записываем как 1+1 и…расскладываем на множители с общим (t-1).Имеем: (t-1)(t^2+t+1)=0.
Далее,дело техники…
Р.S. И как это уважаемый Лейб Александрович не заметил?
[Ответить]
Лейб Reply:
Ноябрь 29th, 2013 at 14:55
Я предложил такое решение, потому что в пункте 4 Татьяна спрашивала:
- Может,есть способ проще?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Кроме того, кубическое уравнение (а также и разложение на множители) уже не поможет, если получится, например, такое уравнение:
.
.
[Ответить]
8 Татьяна:
Спасибо,действительно,можно на множители разложить…Век живи -век учись!
[Ответить]
1 Декабрь 2013, 19:119 Татьяна:
Будьте добры,помогите,пожалуйста,разобраться:
1.Решить неравенство:
x^2-x-6<0
и -2<x<3
но это решение не подходит при отрицательном х.
Как правильно это оформить?
Рассматривать 2 случая:для отрицательного х и положительного х?
[Ответить]
2 Декабрь 2013, 13:5710 Татьяна:
Нет,не правильно записала…
Сейчас перепишу условие…
вроде все сводится к решению неравенства
но это не работает при отрицательном х.
Получается,нужно рассматривать оба случая-для положительного х и для отрицательного х (-6<x<0)
Как это оформить?
Спасибо.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 2nd, 2013 at 15:04
Татьяна, все сводится к решению иррационального неравенства
, а вот дальше уже нужно рассматривать два случая: 1) обе части неравенства неотрицательны, и тогда возводим в квадрат, получая то, что Вы написали, 2)
, и тогда подходят все допустимые
. Смотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/algebra-10-klass/17-irracionalnye-uravneniya-i-neravenstva/
[Ответить]
11 Татьяна:
Правильно ли будет,если я запишу так:
1.Обе части неравенства положительны:
Корнями являются
Получается,что -2<x<3
2.При х-6
И решением всего неравенства является :
-6<x<3
[Ответить]
2 Декабрь 2013, 17:2612 Татьяна:
Так.Переписываю п.2-почему-то отобразился не корректно:
2.При x-6,
получаем: x принадлежит промежутку (-6;0)
Отсюда следует,что общим решением неравенства является промежуток (-6;3)?
[Ответить]
2 Декабрь 2013, 17:3313 Татьяна:
2.Не получается записать как надо.
В общем, при х меньше нуля,но больше минус 6,мы получаем это решение,которое я указала выше?
Спасибо.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 2nd, 2013 at 19:23
При
у Вас все верно, кроме отсутствия точки
. А вот в первом случае Вы забыли условие
, поэтому там
. Ответ:
.
[Ответить]
14 Татьяна:
И вот еще одно неравенство.Никак не решается.Что делать?
Понимаю,что нужно возвести обе части в квадрат:
Как избавиться от
в левой части?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 3rd, 2013 at 20:49
В квадрат можно возводить, только если обе части одного знака.
.
[Ответить]
15 Татьяна:
Да,я понимаю.
При возведении в квадрат получается вот что:
Как привести это к основанию 6?
Спасибо.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 4th, 2013 at 11:48
А Вы логарифмы изучали?
[Ответить]
16 Татьяна:
Логарифмы еще не изучали, начнем в ближайшее время.
Это можно решить только через логарифм?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 4th, 2013 at 13:18
Да, в том случае, о котором Вы спрашиваете,
выражается через логарифм по основанию
.
[Ответить]