24. Ряды с любыми вещественными членами*
Для ряда
с любыми вещественными членами рассмотрим ряд
Теорема. Если ряд (2) сходится, то и ряд (1) сходится.
Доказательство. По найдем номер
так, чтобы при
выполнялось неравенство
Для этих и
также
так что для ряда (1) выполнен критерий Коши, и теорема доказана.
Определение. Ряд (1), для которого сходится ряд (2), называется абсолютно сходящимся.
Ряд (1) может сходиться, а ряд (2) расходиться. В этом случае
ряд (1) называется условно сходящимся.
Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд
сходится (вообще говоря, не абсолютно), если
а) ;
б) .
Доказательство. Имеем частные суммы:
Последовательность не убывает, а последовательность
не возрастает. При любом
и
так что последовательность ограничена сверху любым числом
. Таким образом,
. Но в этом случае
служит нижней границей всех
, поэтому существует
и
Однако
и так как , то
.
Пример. Ряд
по признаку Лейбница, сходится. При он сходится абсолютно. При
он сходится условно, так как соответствующий ряд из абсолютных величин
расходится.
Сходимость ряда при
Возьмем :
. Тогда
ряд сходится.
Расходимость ряда при
Возьмем :
. Тогда
при ряд расходится.
Оставьте свой отзыв