24. Ряды с любыми вещественными членами*

Для ряда

    \[a_1+a_2+\dots+a_n+\dots\hskip9cm (1)\]

с любыми вещественными членами рассмотрим ряд

    \[|a_1|+|a_2|+\dots+|a_n|+\dots\hskip8.5cm (2)\]

Теорема. Если ряд (2) сходится, то и ряд (1) сходится.

Доказательство. По \varepsilon>0 найдем номер N так, чтобы при n>m\le N выполнялось неравенство

    \[|a_{m+1}|+\dots+|a_n|<\varepsilon .\]

Для этих m и n также

    \[|a_{m+1}+\dots+a_n|\le|a_{m+1}|+\dots+|a_n|<\varepsilon ,\]

так что для ряда (1) выполнен критерий Коши, и теорема доказана.

Определение. Ряд (1), для которого сходится ряд (2), называется абсолютно сходящимся.

Ряд (1) может сходиться, а ряд (2) расходиться. В этом случае
ряд (1) называется условно сходящимся.

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд

    \[b_1-b_2+b_3-b_4+\dots+(-1)^{n-1}b_n+\dots\]

(b_n\ge0) сходится (вообще говоря, не абсолютно), если

а) b_n\ge b_{n+1}\qquad(n=1,2,3,\dots);

б) \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=0.

Доказательство. Имеем частные суммы:

    \[\begin{array}{l} s_{2n+1}=s_{2n-1}-b_{2n}+b_{2n+1}\le s_{2n-1},\\ s_{2n+2}=s_{2n}+b_{2n+1}-b_{2n+2}\ge s_{2n}. \end{array}\]

Последовательность s_2,s_4,\dots не убывает, а последовательность s_1,s_3,\dots не возрастает. При любом k и n\ge k

    \[s_2\le s_4\le\dots\le s_{2n}\le s_{2n}+b_{2n+1}= s_{2n+1}\le\dots\le s_{2k+1} ,\]

так что последовательность s_2,s_4,\dots ограничена сверху любым числом s_{2k+1}. Таким образом, \xi=\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_{2n}\le s_{2k+1} \forall k. Но в этом случае \displaystyle \lim_{n\to\infty}s_{2n} служит нижней границей всех s_{2k+1}, поэтому существует \displaystyle\lim_{n\to\infty}s_{2n+1} и

    \[\displaystyle \xi=\lim_{n\to\infty}s_{2n}\le\lim_{n\to\infty}s_{2n+1}=\eta .\]

Однако

    \[0\le\eta-\xi\le s_{2n+1}-s_{2n}=b_{2n+1} ,\]

и так как b_{2n+1}\to0, то \xi=\eta=\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n.

Пример. Ряд

    \[\displaystyle 1-{1\over 2^{\alpha}}+{1\over 3^{\alpha}}-{1\over 4^{\alpha}}+\dots \quad(\alpha>0)\]

по признаку Лейбница, сходится. При \alpha>1 он сходится абсолютно. При 0<\alpha\le 1 он сходится условно, так как соответствующий ряд из абсолютных величин

    \[\displaystyle 1+{1\over 2^{\alpha}}+{1\over 3^{\alpha}}+{1\over 4^{\alpha}}+\dots\]

расходится.

Сходимость ряда \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{1\over n^p} при p>1

    \[s_k=1+{1\over 2^p}+{1\over 3^p}+\dots+{1\over k^p}\]

Возьмем m: 2^m>k. Тогда

    \[\begin{array}{l} \displaystyle s_k\le1+{1\over 2^p}+{1\over 3^p}+\dots+{1\over (2^m-1)^p}=\\[4mm] \displaystyle =1+\left({1\over 2^p}+{1\over 3^p}\right)+\dots+\left({1\over 2^{(m-1)p}}+\dots+{1\over (2^m-1)^p}\right)\le\\[4mm] \displaystyle \le1+{2\over 2^p}+\dots+{2^{m-1}\over 2^{(m-1)p}}=1+{1\over 2^{p-1}}+\dots+{1\over 2^{(p-1)(m-1)}}=\\[4mm] \displaystyle ={\left({1\over 2^{p-1}}\right)^m-1\over {1\over 2^{p-1}}-1}\Rightarrow \end{array}\]

ряд сходится.

Расходимость ряда \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{1\over n^p} при p<1

    \[\displaystyle s_k=1+{1\over 2^p}+{1\over 3^p}+\dots+{1\over k^p}\]

Возьмем m: 2^m<k. Тогда

    \[\begin{array}{l} \displaystyle s_k\ge1+{1\over 2^p}+{1\over 3^p}+\dots+{1\over (2^m)^p}=1+{1\over 2^p}+\left({1\over 3^p}+{1\over 4^p}\right)+\\[4mm] \displaystyle +\left({1\over (2^{m-1})^p}+\dots+{1\over 2^{mp}}\right)\ge{1\over 2}+{1\over 2^p}+{2\over 4^p}+\dots+{2^{m-1}\over 2^{mp}}=\\[4mm] \displaystyle ={1\over 2}+{1\over 2^p}+{1\over 2^{2p-1}}+\dots+{1\over 2^{m(p-1)+1}}={1\over 2}\cdot{1-\left({1\over 2^{p-1}}\right)^k\over 1-{1\over 2^{p-1}}}\Rightarrow \end{array}\]

при p<1 ряд расходится.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение