23. Числовые ряды. Знакоположительные ряды*
Определение. Пусть — последовательность вещественных чисел. Числовым рядом называется
Сумма называется частной суммой ряда.
Определение. Если последовательность чисел сходится к конечному пределу
, то говорят, что ряд сходится и его сумма равна
Если же последовательность расходится, то говорят, что ряд расходится.
Числа называются членами ряда. Всякая конечная сумма
называется отрезком ряда.
Если все числа положительны (неположительны, неотрицательны, отрицательны), ряд называется знакоположительным (знаконеположительным, знаконеотрицательным, знакоотрицательным).
Пример. Рассмотрим ряд
где — некоторое фиксированное число. Частные суммы этого ряда
Если , то
.
При ряд расходится, так как
неограниченно возрастает.
При
. Следовательно, ряд расходится.
При
Следовательно,
не имеет предела, и ряд расходится.
Значит, ряд сходится при , а при
расходится.
Теорема (критерий Коши для ряда). Ряд
сходится тогда и только тогда, когда
В частности, если ряд сходится, то для любого
. Таким образом, у сходящегося ряда
— необходимое условие сходимости. Однако оно не является достаточным.
Для знаконеотрицательных рядов из ограниченности последовательности частичных сумм следует сходимость ряда.
Теорема (признак сравнения). Если знаконеотрицательный ряд сходится и существуют
и
:
, то тогда и ряд
сходится.
Доказательство. Пусть ,
. Тогда при
Последовательность возрастает и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел.
Пример. Если для неотрицательного ряда
где и
, то ряд
сходится.
Теорема (признак Даламбера). Если для знакоположительного ряда
выполняется неравенство
то ряд сходится.
Если
то ряд расходится.
Доказательство. Если , то существует
: начиная с некоторого номера
, выполняется неравенство
Отсюда
и по признаку сравнения ряд сходится.
С именем Даламбера связан один забавный случай. Рассказывают, что, обучая математике очень тупого и очень знатного ученика и не добившись понимания доказательства, Даламбер в отчаянии воскликнул: “Ну, честное слово, сударь, эта теорема верна!” На что ученик отвечал: “Сударь, почему вы сразу так мне не сказали? Вы — дворянин, и я — дворянин; Вашего слова для меня вполне достаточно”.
Пример. Ряд
сходится, поскольку
Теорема (признак Коши). Если для знакоположительного ряда
выполняется неравенство
то ряд сходится.
Если же
то ряд расходится.
Доказательство. Если , то существует
:
. Следовательно,
, и по признаку сравнения ряд сходится.
Если же , то существует
:
. Значит, члены ряда не стремятся к нулю, и ряд расходится.
Пример. Ряд
сходится, так как
Пример. Гармонический ряд (каждый член этого ряда, начиная со второго, — среднее гармоническое двух соседних его членов:
) расходится.
Доказательство.
Частная сумма гармонического ряда может быть сделана больше чего угодно.
1 Интересное выражение для пи | Математика, которая мне нравится:
[...] , в соответствии с хорошо известным разложением для (ряд Лейбница). [...]
1 Июнь 2011, 15:58