23. Числовые ряды. Знакоположительные ряды*

Определение. Пусть a_1,a_2,\dots,a_n,\dots — последовательность вещественных чисел. Числовым рядом называется

    \[\sum_{k=1}^{\infty}a_k .\]

Сумма s_n=\displaystyle\sum_{k=1}^na_k называется частной суммой ряда.

Определение. Если последовательность чисел s_1,s_2,\dots,s_n сходится к конечному пределу s, то говорят, что ряд сходится и его сумма равна

    \[s=\lim_{n\to\infty}s_n .\]

Если же последовательность s_n расходится, то говорят, что ряд расходится.

Числа a_1,a_2,\dots,a_n,\ldots называются членами ряда. Всякая конечная сумма a_{m+1}+\dots+a_n называется отрезком ряда.

Если все числа a_1,a_2,\dots,a_n,\ldots положительны (неположительны, неотрицательны, отрицательны), ряд называется знакоположительным (знаконеположительным, знаконеотрицательным, знакоотрицательным).

Пример. Рассмотрим ряд

    \[1+x+x^2+\dots+x^{n-1}+\ldots,\]

где x — некоторое фиксированное число. Частные суммы этого ряда

    \[s_n=\sum_{k=0}^{n-1}x^k={1-x^n\over 1-x} .\]

Если |x|<1, то \displaystyle s=\lim_{n\to\infty}s_n={1\over 1-x}.

При |x|>1 ряд расходится, так как |s_n| неограниченно возрастает.

При x=1 s_n=1+1+\ldots+1=n. Следовательно, ряд расходится.

При x=-1 s_1=1,s_2=0,s_3=1,s_4=0,\ldots Следовательно, (s_n) не имеет предела, и ряд расходится.

Значит, ряд сходится при |x|<1, а при |x|\ge 1 расходится.

Теорема (критерий Коши для ряда). Ряд

    \[\sum_{k=1}^{\infty}a_k\]

сходится тогда и только тогда, когда

    \[\begin{array}{l} \forall\varepsilon>0\ \exists N:\ \forall m\ge N,n>m\qquad a_{m+1}+\dots+a_n|<\varepsilon . \end{array}\]

В частности, если ряд сходится, то для любого \varepsilon>0 \exists N:\ \forall n>N |a_n|<\varepsilon. Таким образом, у сходящегося ряда \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0 — необходимое условие сходимости. Однако оно не является достаточным.

Для знаконеотрицательных рядов из ограниченности последовательности частичных сумм следует сходимость ряда.

Теорема (признак сравнения). Если знаконеотрицательный ряд a_1+a_2+\ldots+a_n+\ldots сходится и существуют c>0 и N: \forall n>N b_n\le ca_n, то тогда и ряд b_1+b_2+\ldots+b_n+\ldots сходится.

Доказательство. Пусть \displaystyle s=\sum_{k=1}^{\infty}a_k, \displaystyle \sigma_n=\sum_{k=1}^nb_k. Тогда при n>N

    \[\sigma_n=b_1+b_2+\dots+b_n\le b_1+\dots+b_N+c(a_{N+1}+\dots+a_n)\le b_1+\dots+b_N+cs .\]

Последовательность \sigma_n возрастает и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел.

Пример. Если для неотрицательного ряда \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}b_k

    \[b_n\le c\Theta^n\qquad(n>N),\]

где c>0 и 0\le\Theta<1, то ряд \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}b_k сходится.

Теорема (признак Даламбера). Если для знакоположительного ряда

    \[a_1+a_2+\dots+a_n+\ldots\]

выполняется неравенство

    \[\lim_{n\to\infty}{a_{n+1}\over a_n}<1,\]

то ряд сходится.

Если

    \[\lim_{n\to\infty}{a_{n+1}\over a_n}>1,\]

то ряд расходится.

Доказательство. Если \displaystyle\lim_{n\to\infty}{a_{n+1}\over a_n}<1, то существует \Theta<1: начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство

    \[{a_{n+1}\over a_n}\le\Theta\qquad(n>N).\]

Отсюда

    \[a_{n+1}\le\Theta a_n,a_{N+2}\le\Theta a_{N+1}\le\Theta^2a_N,\dots,a_{N+k}\le\Theta^ka_N ,\]

и по признаку сравнения ряд сходится.

С именем Даламбера связан один забавный случай. Рассказывают, что, обучая математике очень тупого и очень знатного ученика и не добившись  понимания доказательства, Даламбер в отчаянии воскликнул: “Ну, честное  слово, сударь, эта теорема верна!” На что ученик отвечал: “Сударь, почему вы сразу так мне не сказали? Вы — дворянин, и я — дворянин; Вашего слова для меня вполне достаточно”.

Пример. Ряд

    \[1+{1\cdot2\over 1\cdot3}+{1\cdot2\cdot3\over 1\cdot3\cdot5}+{1\cdot2\cdot3\cdot4\over  1\cdot3\cdot5\cdot7}+\dots\]

сходится, поскольку

    \[{a_{n+1}\over a_n}={n+1\over 2n+1}\to{1\over 2} .\]

Теорема (признак Коши). Если для знакоположительного ряда

    \[a_1+a_2+\dots+a_n+\ldots\]

выполняется неравенство

    \[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1,\]

то ряд сходится.

Если же

    \[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1,\]

то ряд расходится.

Доказательство. Если \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1, то существует N: \forall n>N \sqrt[n]{a_n}<\Theta<1. Следовательно, a_n<\Theta^n, и по признаку сравнения ряд сходится.

Если же \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1, то существует N: \forall n>N \sqrt[n]{a_n}>1 \Rightarrow a_n>1. Значит, члены ряда не стремятся к нулю, и ряд расходится.

Пример. Ряд

    \[{2\over 1}+\left({3\over 2}\right)^2+\left({4\over 5}\right)^3+\left({5\over 7}\right)^4+\dots\]

сходится, так как

    \[\sqrt[n]{a_n}={n+1\over 2n-1}\to{1\over 2} .\]

Пример. Гармонический ряд \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{1\over k} (каждый член этого ряда, начиная со второго, — среднее гармоническое двух соседних его членов: \displaystyle {1\over a}={1\over 2}\left({1\over b}+{1\over c}\right)) расходится.

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} \displaystyle 1+{1\over 2}+\left({1\over 3}+{1\over 4}\right)+\left({1\over 5}+{1\over 6}+{1\over 7}+{1\over 8}\right)+\dots\\[4mm] \displaystyle {1\over 2^k+1}+{1\over 2^k+2}+\dots+{1\over 2^{k+1}}\ge{2^k\over 2^{k+1}}={1\over 2}. \end{array}\]

Частная сумма гармонического ряда может быть сделана больше чего угодно.

Один комментарий

  1. 1 Интересное выражение для пи | Математика, которая мне нравится:

    [...] , в соответствии с хорошо известным разложением для (ряд Лейбница). [...]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение