22. Применение интеграла

Теорема (схема применения интеграла). Пусть T:\Psi\to\mathbb{R}, T аддитивна, пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, функция f непрерывна. Для любого отрезка [\alpha,\beta] обозначим m[\alpha,\beta] – наименьшее значение функции f на [\alpha,\beta], M[\alpha,\beta] – наибольшее значение функции f на [\alpha,\beta]. Пусть \forall [\alpha,\beta]\subset[a,b]

(\beta-\alpha)m[\alpha,\beta]\le T[\alpha,\beta]\le M[\alpha,\beta](\beta-\alpha).

Тогда T – интеграл f.
Следствие 1. Площадь подграфика

Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, функция f непрерывна и \forall x\in[a,b] f(x)\ge0. Тогда площадь подграфика функции f равна \displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx.

S[\alpha,\beta] – площадь подграфика функции f на отрезке [\alpha,\beta]. S – аддитивная функция промежутка (следует из свойств площади). Рассмотрим два прямоугольника, основанием которых служит [\alpha,\beta], а высота первого равна наименьшему значению функции f на отрезке [\alpha,\beta], высота второго – наибольшему значению функции f на отрезке [\alpha,\beta]. Тогда

m[\alpha,\beta](\beta-\alpha)\le S[\alpha,\beta]\le M[\alpha,\beta](\beta-\alpha) .

По теореме, \displaystyle S[a,b]=\int_{a}^{b}f(x)dx.

Следствие 2. Объем тела вращения

Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, функция f непрерывна и \forall x\in[a,b] f(x)\ge0. Рассмотрим тело, полученное вращением подграфика функции f вокруг оси абсцисс. Объем этого тела равен \displaystyle\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx.

Для любого отрезка [\alpha,\beta] обозначим V[\alpha,\beta] объем той части нашего тела, которая заключена между плоскостями x=\alpha и x=\beta. По свойству объемов эта функция аддитивна. Рассмотрим два цилиндра с одинаковой высотой [\alpha,\beta]. Основание первого цилиндра – круг, радиус которого равен наименьшему значению функции f на отрезке [\alpha,\beta], а второго – круг, радиус которого равен наибольшему значению функции f на отрезке [\alpha,\beta]. Тогда

\begin{array}{c@{}c@{}c}<br />
\pi m^2[\alpha,\beta](\beta-\alpha)&\le V[\alpha,\beta]\le&\pi M^2[\alpha,\beta](\beta-\alpha),\\[2mm]<br />
\|&&\|\\<br />
\displaystyle\min_{x\in[\alpha,\beta]}f^2(x)(\beta-\alpha)&&\displaystyle\max_{x\in[\alpha, \beta]}f^2(x)(\beta-\alpha).<br />
\end{array}

По теореме,

\displaystyle V=\int_{a}^{b}\pi f^2(x)dx=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx .

Следствие 3. Площадь в полярных координатах

\displaystyle S={1\over 2}\int_{a}^{b}r^2(\varphi)d\varphi

Для любого отрезка [\alpha,\beta]\subset[a,b] обозначим S[\alpha,\beta] площадь фигуры, ограниченной лучами, идущими под углами \alpha,\beta и нашей линией. Рассмотрим два сектора, каждый из которых ограничен лучами \varphi=\alpha и \varphi=\beta и окружностью. Первый – окружностью, радиус которой равен наименьшему значению функции r на отрезке [\alpha,\beta], второй – окружностью, радиус которой равен наибольшему значению функции r на отрезке [\alpha,\beta]. Тогда

\begin{array}{c@{}c@{}c}<br />
\displaystyle<br />
{1\over 2}\left(\min_{\varphi\in[\alpha,\beta]}r(\varphi)\right)^2(\beta-\alpha)& \le S[\alpha,\beta]\le&\displaystyle {1\over 2}\left(\max_{\varphi\in[\alpha,\beta]}r(\varphi)\right)^2(\beta-\alpha),\\[4mm]<br />
\|&&\|\\<br />
\displaystyle\min_{\varphi\in[\alpha,\beta]}{1\over<br />
2}(r(\varphi))^2(\beta-\alpha)&&\displaystyle\max_{\varphi\in[\alpha,\beta]}{1\over 2}(r(\varphi))^2(\beta-\alpha) .<br />
\end{array}

По теореме,

\displaystyle S=\int_{a}^{b}{1\over 2}r^2(\varphi)d\varphi={1\over 2}\int_{a}^{b}r^2(\varphi)d\varphi .

Следствие 4. Длина пути

Пусть {\bf r} – вектор-функция, заданная на отрезке [a,b] ({\bf r}:[a,b]\to\mathbb{V}), {\bf r} дифференцируема, {\bf r}^{\prime} непрерывна. Тогда

\displaystyle l({\bf r})=\int_{a}^{b}\left|{\bf r}^{\prime}(t)\right| dt.

Возьмем произвольный отрезок [\alpha,\beta]\subset[a,b]

\min_{t\in[\alpha,\beta]}\left|{\bf r}^{\prime}(t)\right|(\beta-\alpha)\le l\left(\left.{\bf r}\right|_{[\alpha,\beta]}\right)\le \min_{t\in[\alpha,\beta]}\left|{\bf r}^{\prime}(t)\right|(\beta-\alpha) .

По теореме,

\displaystyle l({\bf r})=\int_{a}^{b}\left|{\bf r}^{\prime}(t)\right|dt .

Пусть \mathbb{V}=\mathbb{V}_2. Пусть в \mathbb{V} выбран базис. Тогда {\bf r}(t)=x(t){\bf i}+y(t){\bf j}, где x(t) и y(t) – функции координат в базисе ({\bf i},{\bf j}), x(t) и y(t) дифференцируемы и x^{\prime}(t) и y^{\prime}(t) непрерывны. Тогда

\displaystyle l({\bf r})=\int_{a}^{b}\sqrt{(x^{\prime}(t))^2+(y^{\prime}(t))^2}dt .

Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, функция f дифференцируема, функция f^{\prime} непрерывна. Нужно вычислить длину графика функции f на отрезке [a,b]. Вектор-функция {\bf r}(t) на отрезке [a,b] имеет вид

{\bf r}(t)=t{\bf i}+f(t){\bf j} .

Тогда

\displaystyle l=l({\bf r})=\int_a^b\sqrt{1+(f’(t))^2}dt .

Задача 1. Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, функция f дифференцируема, f^{\prime} непрерывна, f выпукла. Докажите, что длина графика функции f вычисляется по формуле

\displaystyle l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f’(t))^2}dt .

Следствие 5. Работа

Пусть {\bf r}:[a,b]\to\mathbb{V}, {\bf r}(t) – радиус-вектор, задающий положение точки в момент времени t, {\bf F}({\bf r}(t)) – сила, действующая на точку в момент времени t. Пусть {\bf r} имеет непрерывную производную {\bf v}. Тогда работа силы {\bf F} на промежутке времени [a,b] равна

\displaystyle A=\int_{a}^{b}{\bf F}\cdot{\bf v}dt.

Задачи.

1. Найдите площади фигур, задаваемых условиями

1)

\left\{\begin{array}{l}</p>
<p>-1\le x\le2,\\<br />
0\le y\le x^2+1.<br />
\end{array}\right.

2) 0\le y\le 1-x^2 .

3) x^2-\pi x\le y\le\sin x .

2. Вычислите интегралы

1) \displaystyle \int_0^1\sqrt{1-x^2}dx;

2) \displaystyle \int_0^1 {\rm arcsin}\,xdx;

3) Вспомните, что такое обратная функция. Докажите неравенство

\displaystyle 9<\int_0^3\sqrt[4]{x^4+1}dx+\int_1^3\sqrt[4]{x^4-1}dx<9,0001 .

4. Найдите объем следующих тел:

1) Тело получено вращением вокруг оси абсцисс фигуры, задаваемой условием 0\le y\le 1-x^2 .

2) Тело получено вращением вокруг оси ординат фигуры, задаваемой условием 0\le y\le 1-x^2 .

3) Тело получено вращением вокруг оси абсцисс фигуры, задаваемой условием

\left\{\begin{array}{l}<br />
0\le x\le\pi,\\<br />
0\le y\le\sin x.<br />
\end{array}\right.

Комментариев: 2

  1. 1 Михаил:

    А это вообще школьный курс? Почему то не похожа на школьную математику (разве что в физмат-школах).Понятие аддитивности можете объяснить? (Мы полярные координаты тоже не проходили)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, курс школьный, но хорошей физ-мат школы. Аддитивность функции промежутка здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-11-klass/19-funkcii-promezhutka/
    Полярные координаты здесь посмотрите: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение