21. Определение интеграла и его свойства

Определение. Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}. Пусть T:\Psi\to\mathbb{R}, T аддитивна, и ее плотность равна f. Тогда T называется интегралом.

Обозначение. Пусть [\alpha,\beta]\subset[a,b]. Значение функции T на отрезке [\alpha,\beta]:

\displaystyle T[\alpha,\beta]=\int_{\alpha}^{\beta}fdx=\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx .

Теорема (Ньютон, Лейбниц). Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, F – первообразная функции f. Тогда \forall [\alpha,\beta]\subset[a,b]

\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=F(\beta)-F(\alpha) .

Доказательство. По теореме о плотности аддитивной функции промежутка, f(x)=F^{\prime}(x) и равна плотности функции \Delta F. По определению тогда \Delta F – интеграл функции f.

\forall[\alpha,\beta]\subset[a,b]

\displaystyle (\Delta f)[\alpha,\beta]=\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=F(\beta)-F(\alpha)=\left. F\right|_{\alpha}^{\beta} .

Свойства интеграла

1. \forall [\alpha,\beta],[\beta,\gamma]\subset[a,b]

\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx+\int_{\beta}^{\gamma}f(x)dx =\int_{\alpha}^{\gamma}f(x)dx.

2. \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(f(x)+g(x))dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx+ \int_{\alpha}^{\beta}g(x)dx.

Доказательство. Пусть F - первообразная fG – первообразная g. Тогда F+G – первообразная f+g.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(f(x)+g(x))dx=(F+G)(\beta)-(F+G)(\alpha) =F(\beta)-F(\alpha)+G(\beta)-G(\alpha)=\\[2mm]<br />
\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx+\int_{\alpha}^{\beta}g(x)dx .<br />
\end{array}

3. \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}cf(x)dx=c\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx.

4. Пусть функция g:[a,b]\to\mathbb{R}, g дифференцируема. Пусть функция f задана на промежутке, содержащем множество значений функции g (g([a,b])), причем g(a)\le g(b). Пусть у функции f есть первообразная. Тогда

\displaystyle \int_{a}^{b}f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx .

Доказательство. Пусть F – первообразная функции f. Тогда

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx=F(g(b))-F(g(a)),\\[2mm]<br />
f(g(x))g^{\prime}(x)=F^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)=(F\circ g)^{\prime}(x),\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
\int_{a}^{b}f(g(x))g^{\prime}(x)dx=F\circ g(b)-f\circ g(a)=F(g(b))-F(g(a)).<br />
\end{array}

Следствие. Пусть \alpha>0. Тогда

\displaystyle \int_{a}^{b}\alpha f(\alpha x+\beta)dx=\int_{\alpha a+\beta}^{\alpha b+\beta}f(x)dx .

Доказательство. Положим g(x)=\alpha x+\beta,\ \alpha>0, применим предыдущую теорему:

\displaystyle \int_{a}^{b}f(\alpha x+\beta)dx={1\over \alpha}\int_{\alpha a+\beta}^{\alpha b+\beta} f(x)dx .

5. Пусть f,g:[a,b]\to\mathbb{R}, функции f и g дифференцируемы, функция f^{\prime}g имеет первообразную. Тогда

\displaystyle \int_{a}^{b}f^{\prime}(x)g(x)dx=\left. f(x)g(x)\right|_a^b-\int_{a}^{b}f(x)g^{\prime}(x)dx.

Доказательство.

(fg)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x) .

Функции (fg)^{\prime} и f^{\prime}g имеют первообразные, поэтому и функция fg^{\prime} также имеет первообразную, и можем записать

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\int_{a}^{b}(fg)^{\prime}(x)dx=\int_{a}^{b}f^{\prime}(x)g(x)dx+\int_{a}^{b}f(x)g^{\prime}(x)dx,\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
\int_{a}^{b}(gf)^{\prime}(x)dx=\left. fg(x)\right|_{a}^{b}=\left.<br />
f(x)g(x)\right|_{a}^{b} .<br />
\end{array}

Определение. Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, \alpha,\beta\in[a,b], \alpha>\beta. Тогда

\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=-\int_{\beta}^{\alpha}f(x)dx .

Задача 1. Пусть \alpha,\beta,\gamma\in[a,b]. Докажите, что

\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx+\int_{\beta}^{\gamma}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\gamma}f(x)dx.

Выясните при всех расположениях \alpha,\beta и \gamma с помощью формулы Ньютона – Лейбница.

6. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом

Учитель Ньютона и его предшественник по кафедре в Кембриджском университете английский математик, философ и богослов Исаак Барроу (1630-1677) в детстве не проявлял интереса к учебе. В юношеские годы Исаак отличался веселым нравом и необыкновенным трудолюбием. Однажды на экзамене между капелланом и студентом Барроу произошел следующий диалог:

К а п е л л а н: Что такое вера?

Б а р р о у: То, чего не видишь.

К а п е л л а н: Что такое надежда?

Б а р р о у: Великое дело.

К а п е л л а н: Что такое любовь?

Б а р р о у: Большая редкость.

Дерзкие ответы Барроу возмутили капеллана, и он сообщил об этом епископу. Однако у епископа ответы Барроу вызвали лишь улыбку, и тем самым, инцидент был исчерпан.

Теорема (Барроу). Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, функция f имеет первообразную. Рассмотрим функцию F, заданную на отрезке [a,b] по правилу

\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt.

Тогда F^{\prime}(x)=f(x).

Доказательство. Пусть G(x) – одна из первообразных функции f. Тогда

\displaystyle \int_{a}^{x}f(t)dt=G(x)-G(a) .

\forall x\in[a,b] G(x)-G(a)=F(x) \Rightarrow G(x) -
первообразная функции f(x).

7. Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, функция f имеет первообразную. Если \forall x\in[a,b] f(x)\ge0, то \displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx\ge0.

Доказательство. Пусть F^{\prime}(x)=f(x).

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),\\[2mm]<br />
f=F^{\prime}\ge0.<br />
\end{array}

Следовательно, функция F возрастает, значит, F(b)\ge F(a).

8. Пусть f,g:[a,b]\to\mathbb{R}, функции f и g имеют первообразные. Если \forall x\in[a,b] f(x)\ge g(x), то

\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx\ge\int_{a}^{b}g(x)dx.

Доказательство.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\forall x\in[a,b]\ f(x)\ge g(x)\Rightarrow f(x)-g(x)\ge0\Rightarrow<br />
\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx\ge0\Rightarrow\\[2mm]<br />
\displaystyle \Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx\ge\int_{a}^{b}g(x)dx .<br />
\end{array}

9. Пусть f,g:[a,b]\to\mathbb{R}, f,g имеют первообразные, \alpha,\beta\in[a,b], \alpha>\beta, \forall x\in[a,b] f(x)\ge g(x). Тогда \displaystyle \int_{\beta}^{\alpha}f(x)dx\le\int_{\beta}^{\alpha}g(x)dx.

Доказательство.

\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=-\int_{\beta}^{\alpha}f(x)dx,\ \int_{\alpha}^{\beta}g(x)dx=-\int_{\beta}^{\alpha}g(x)dx\Rightarrow \int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx\le\qquad \le\int_{\alpha}^{\beta}g(x)dx.

10. Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, функция f непрерывна. Тогда

\displaystyle \left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\le\int_{a}^{b}|f(x)|dx.

Доказательство.

\begin{array}{l}<br />
f(x)\le|f(x)|,\ -f(x)\le|f(x)|,\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
\int_{a}^{b}f(x)dx\le\int_{a}^{b}|f(x)|dx,\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
\int_{a}^{b}-f(x)dx\le\int_{a}^{b}|f(x)|dx\Rightarrow<br />
-\int_{a}^{b}f(x)dx\le\int_{a}^{b}|f(x)|dx .<br />
\end{array}

Отсюда

\displaystyle \left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\le\int_{a}^{b}|f(x)|dx.

Задача 2. Сформулируйте и докажите утверждение для случая a\ge b.

11. Теорема о среднем

Теорема. Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, функция f имеет первообразную, m,M\in\mathbb{R} и \forall x\in[a,b] выполняется неравенство

m\le f(x)\le M.

Тогда \displaystyle m\le{\int_{a}^{b}f(x)dx\over b-a}\le M.

Доказательство. Проинтегрируем неравенство и затем поделим получившееся неравенство на b-a.

Определение. Число \displaystyle {\int_{a}^{b}f(x)dx\over b-a} называется средним значением функции f на отрезке [a,b].

Задачи.

1. Вычислите интегралы

1) \displaystyle \int_{-1}^55dx;

2) \displaystyle \int_0^2(2x^3-x-1)dx;

3) \displaystyle \int_2^8\frac{dx}{\sqrt{x}};

4) \displaystyle\int_1^2\frac{2x^3+3x-2}{x^5}dx;

5) \displaystyle \int_0^1\frac{x^3+x+1}{x^2+1}dx;

6) \displaystyle \int_0^{\pi}(\sin x-3\cos x-x)dx;

7) \displaystyle \int_{-1}^1 (|2x-1|-|x|)^2dx.

2. Сделав замену переменных, вычислите интегралы

1) \displaystyle \int_0^{\pi/2}\sin3x dx;

2) \displaystyle \int_0^1(3x+1)^7dx;

3) \displaystyle \int_0^2\frac{dx}{x^2+4};

4) \displaystyle \int_0^1\sqrt[3]{2x-|x-2|};

5) \displaystyle \int_0^1 x^2\sqrt{x^3+1}dx;

6) \displaystyle \int_0^1\frac{\sqrt{x}}{1+x^3}dx.

3. Докажите, что для нечетной интегрируемой на отрезке [-a,a] функции f

\displaystyle \int_{-a}^a f(x)dx=0 ,

а для четной интегрируемой на отрезке [-a,a] функции f

\displaystyle \int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx .

4. С помощью теоремы о среднем докажите неравенства

1) \displaystyle 9<\int_8^{18}\frac{x+1}{x+2}dx<9,5;

2) \displaystyle 8<\int_{1,5}^{3,5}\frac{x^2}{x-1}dx<10.

5. Интеграл с переменным верхним пределом.

1) \displaystyle F(x)=\int_0^x\frac{\sin t}{t^2+1}dt. Найдите F^{\prime}(0),F^{\prime}(\pi),F^{\prime}\left(-\frac{\pi}{2}\right).

2) \displaystyle F(x)=\int_0^{x^2+1}\sqrt[3]{1+t^4}dt. Найдите функцию F^{\prime}.

3) \displaystyle F(x)=\int_{\sin x}^{\cos x}\sqrt{1+t^2}dt. В каких точках функция F принимает свое наибольшее значение?

Один комментарий

  1. 1 История переоткрытия правила трапеций | Математика, которая мне нравится:

    [...] требуется вычислить определенный интеграл функции на [...]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение