20. Плотность аддитивной функции промежутка

Определение. Пусть T:\Psi\to\mathbb{R}, T аддитивна. Пусть [\alpha,\beta] – произвольный отрезок, лежащий внутри отрезка [a,b], причем \alpha\ne\beta. Средней плотностью функции T на отрезке [a,b] называется величина

\displaystyle {T[\alpha,\beta]\over \beta-\alpha} .

Лемма 1. Пусть дан отрезок [a,b] и точка c: a<c<b. Пусть

\displaystyle m=\min\left[{T[a,c]\over c-a},{T[c,b]\over b-c}\right],\ M=\max\left[{T[a,c]\over c-a},{T[c,b]\over b-c}\right] .

Тогда

\displaystyle m\le{T[a,b]\over b-a}\le M .

\begin{array}{ll}<br />
\displaystyle {T[a,b]\over b-a}>{T[a,c]\over c-a},&\displaystyle{T[a,b]\over b-a}>{T[c,b]\over b-c},\\[4mm]<br />
\displaystyle {c-a\over b-a}T[a,b]>T[a,c],&\displaystyle {b-c\over b-a}T[a,b]>T[c,b] .<br />
\end{array}

Следовательно, складывая левые и правые части двух последних неравенств, получаем

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle \left({c-a\over b-a}+{b-c\over b-a}\right) T[a,b]>T[a,b],\\[4mm]<br />
T[a,b]>T[a,b].<br />
\end{array}

Получаем противоречие.

Аналогично пусть \displaystyle {T[a,b]\over b-a}<m.

\begin{array}{ll}<br />
\displaystyle  {T[a,b]\over b-a}<{T[a,c]\over c-a},&\displaystyle {T[a,b]\over b-a}<{T[c,b]\over b-c},\\[4mm]<br />
\displaystyle {c-a\over b-a}T[a,b]  .\end{array}

Следовательно, складывая левые и правые части двух последних неравенств, получаем

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle \left({c-a\over b-a}+{b-c\over b-a}\right) T[a,b]<  T[a,b] . \end{array}
Также получаем противоречие.

Определение плотности. Пусть T:\Psi\to\mathbb{R}, T аддитивна, c – произвольная точка отрезка [a,b]. Число p(c) называется плотностью функции T в точке c, если для любой последовательности отрезков [\alpha_n,\beta_n]\subset[a,b], c\in[\alpha_n,\beta_n], \alpha_n\ne\beta_n, \alpha_n-\beta_n\to0 выполняется

\displaystyle {T[\alpha_n,\beta_n]\over \beta_n-\alpha_n}\to p(c) .

Теорема 1. Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, T=\Delta f, c\in[a,b].

1) Пусть T имеет в точке c плотность p(c). Тогда функция f дифференцируема в точке c и f^{\prime}(c)=p(c).

2) Пусть функция f дифференцируема в точке c. Тогда функция T имеет в точке c плотность f^{\prime}(c).

Доказательство. Пусть

\displaystyle m=\min\left[{T[a,c]\over c-a},{T[c,b]\over b-c}\right],\ M=\max\left[{T[a,c]\over c-a},{T[c,b]\over b-c}\right] .

Тогда

\displaystyle m\le{T[a,b]\over b-a}\le M .

1) По условию \forall [\alpha_n,\beta_n]\subset[a,b], c\in[\alpha_n,\beta_n], \alpha_n\ne\beta_n, \alpha_n-\beta_n\to0 выполняется

\displaystyle {f(\beta_n)-f(\alpha_n)\over \beta_n-\alpha_n}\to p(c) .

В частности, это верно для всякой последовательности промежутков [\alpha_n,\beta_n], в каждом из которых один конец совпадает с точкой c. Таким образом, для любой последовательности (x_n), x_n\ne c, x_n\to c

\displaystyle {f(x_n)-f(c)\over x_n-c}\to p(c) .

Значит, у функции f есть производная, и она совпадает с f^{\prime}(c).

2) По условию, \forall (x_n), x_n\ne c, x_n\to c

\displaystyle {f(x_n)-f(c)\over x_n-c}\to f^{\prime}(c).

Нужно доказать, что \forall [\alpha_n,\beta_n]\subset[a,b], c\in[\alpha_n,\beta_n], \alpha_n\ne\beta_n, \alpha_n-\beta_n\to0 выполняется

\displaystyle {f(\beta_n)-f(\alpha_n)\over \beta_n-\alpha_n}\to p(c) .

Возьмем произвольную последовательность [\alpha_n,\beta_n]. Каждый отрезок этой последовательности [\alpha_n,\beta_n] представим в виде

\displaystyle [\alpha_n,\beta_n]=[\alpha_n,c]\cup[c,\beta_n] .

Построим две последовательности (m_n) и (M_n) по следующему правилу:

если \alpha_n<c<\beta_n, то

\displaystyle m_n=\min\left({f(\beta_n)-f(c)\over \beta_n-c},{f(c)-f(\alpha_n)\over c-\alpha_n}\right),

\displaystyle M_n=\max\left({f(\beta_n)-f(c)\over \beta_n-c},{f(c)-f(\alpha_n)\over c-\alpha_n}\right) ;

если c совпадает либо с \alpha_n, либо с \beta_n, то

\displaystyle m_n=M_n={f(\beta_n)-f(\alpha_n)\over \beta_n-\alpha_n} .

По теореме о двух милиционерах и по лемме 1

\displaystyle \left( m_n\le{f(\beta_n)-f(\alpha_n)\over \beta_n-\alpha_n}\le M_n\right)

имеем

\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c}<br />
m_n&\le&\displaystyle {f(\beta_n)-f(\alpha_n)\over \beta_n-\alpha_n}&\le&M_n,\\[4mm]<br />
\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\<br />
f^{\prime}(c)&&\underline{f^{\prime}(c)}&&f^{\prime}(c).<br />
\end{array}

Теорема 2. Пусть T_1,T_2:\Psi\to\mathbb{R}, T_1,T_2 аддитивны. Пусть x – произвольная точка внутри отрезка [a,b], p(x) – плотность T_1,T_2 в точке x. Тогда T_1=T_2.

Аддитивная функция промежутка однозначно восстанавливается по ее плотности.

Доказательство. По теореме 1

T_1=\Delta f_1,\ T_2=\Delta f_2.

Плотность функции T_1 в точке x равна плотности функции T_2 в точке x и равна p(x) \forall x. Значит, \forall x\in[a,b] p(x)=f_1^{\prime}(x)=f_2^{\prime}(x). Следовательно, f_1-f_2=const. Значит, \Delta f_1=\Delta f_2 и T_1=T_2.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение