2. Геометрический смысл дифференциала и производной. Связь дифференцируемости и непрерывности

Определение. Пусть f:X\to\mathbb{R}, a\in X. Касательной к графику функции f в точке a называется прямая, проходящая через точку (a;f(a)) и имеющая угловой коэффициент, равный f^{\prime}(a).

Найдем уравнение касательной:

y=f^{\prime}(a)x+b.

Так как касательная проходит через точку (a;f(a)), то

\begin{array}{l}<br />
f(a)=f^{\prime}(a)a+b,\\<br />
b=f(a)-f^{\prime}(a)\cdot a,\\<br />
y=f^{\prime}(a)x+f(a)-f^{\prime}(a)a,\\<br />
y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a),\\<br />
y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a).<br />
\end{array}

\fbox{$y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$}

Связь дифференцируемости и непрерывности

Утверждение. Пусть f:X\to\mathbb{R}, a\in X, f дифференцируема в a. Тогда f непрерывна в a.

Доказательство.

\begin{array}{l}<br />
f(a+h)-f(a)=f^{\prime}(a)h+\varphi(h)h,\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
\lim_{h\to0}\left[ f^{\prime}(a)h+\varphi(h)h\right]=0,\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
\lim_{h\to0}f(a+h)=f(a).<br />
\end{array}

Задачи.

1) Для данных функций y=f(x) напишите уравнения касательных y=l(x) к их графикам в точках с абсциссой x_0=2, запишите разность f(x)-l(x) и проверьте, что

\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-l(x)}{x-x_0}=0 .

1. f(x)=x^2+2x;
2. f(x)=\sqrt{2x};
3. f(x)=\sin\pi x.

2) Напишите уравнения касательных к графику функции f(x)=\sqrt{1-x^2} в точках с абсциссами x_0=0 и x_0=\sqrt{2}/2. Постройте график функции f и эти касательные.

3) Напишите уравнения касательных к графику функции y=x^3-2x^2, параллельных прямой y=-x+3.

4) Напишите уравнения касательных к графику функции \displaystyle y=\frac{x}{x-1}, перпендикулярных прямой y=4x+3.

5) Напишите уравнения касательных к графику функции y=x^2+3x+2, проходящих через точку с координатами (2;8).

5) Напишите уравнение прямой, касающейся графика функции y=x^2-2|x-1| в двух точках.

Определение. Углом между двумя кривыми называется угол между касательными к ним в точках их пересечения.

6) Найдите, под какими углами пересекаются графики функций

а) f(x)=x^3-x и g(x)=x^2-10;

б) f(x)=\sin x и g(x)=\cos x.

Один комментарий

  1. 1 zbl:

    Боже жш ты мой. Что же за мания такая думать задом наперёд? Это из того, что \lim f(x+\Delta x)=f(x) следует, что f(x+\Delta x)=f(x)+f’(x)\Delta x + o(\Delta x), а не наоборот. Непрерывность то и значит, что f(x+\Delta x)-f(x)=f’(x)\Delta x + o(\Delta x) — приращение функции бесконечно мало при бесконечно малом приращении аргумента.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение