19. Функции промежутка

Пример 1. Масса стержня

m[\alpha;\beta] — масса стержня на участке от \alpha до \beta.

Пример 2. Путь.

S[\alpha;\beta] — путь, пройденный движущейся точкой за время от \alpha до \beta.

Пример 3. Площадь подграфика.

\forall x\in[A;B] f(x)\ge0S[\alpha,\beta] — площадь подграфика функции f на промежутке [\alpha,\beta].

Определение. Пусть дан отрезок [A;B]. Обозначим через \Psi множество всех замкнутых промежутков, лежащих внутри отрезка [A;B]. Функция промежутка — это отображение множества \Psi в множество вещественных чисел (\Psi\to\mathbb{R}) (правило, по которому каждому отрезку, лежащему внутри [A;B], ставится в соответствие вещественное число).

Определение. Пусть T:\Psi\to\mathbb{R} (T — функция промежутка). Функция T называется аддитивной, если \forall[\alpha,\beta],[\beta,\gamma]\in\Psi

    \[T[\alpha,\beta]+T[\beta,\gamma]=T[\alpha,\gamma] .\]

Функции промежутка можно складывать и умножать на вещественные числа.

Задача 1. Докажите, что если T_1 и T_2 — аддитивные функции промежутка, то T_1+T_2 — аддитивная функция промежутка.

Задача 2. Докажите, что если T — аддитивная функция промежутка, \alpha\in\mathbb{R}, то \alpha T — аддитивная функция промежутка.

Приращение функции

Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}. Будем обозначать \Delta f приращение функции f.

    \[\begin{array}{l} [\alpha,\beta]\subset[a,b],\\[2mm] [ \alpha,\beta]\mapsto f(\beta)-f(\alpha),\\[2mm] \Delta f[\alpha,\beta]=f(\beta)-f(\alpha). \end{array}\]

Докажем, что приращение — аддитивная функция промежутка:

    \[\begin{array}{l} \Delta f[\alpha,\beta]=f(\beta)-f(\alpha),\\[2mm] \Delta f[\beta,\gamma]=f(\gamma)-f(\beta),\\[2mm] \Delta f[\alpha,\gamma]=f(\gamma)-f(\alpha),\\[2mm] \Delta f[\alpha,\beta]+\Delta , f[\beta,\gamma]=f(\beta)-f(\alpha)+f(\gamma)-f(\beta)=f(\gamma)-f(\alpha)=\Delta f[\alpha,\gamma] . \end{array}\]

Теорема. Пусть T:\Psi\to\mathbb{R}, T — аддитивная функция. Тогда существует f:[a,b]\to\mathbb{R}: \Delta f=T.

Доказательство. Зададим функцию f по правилу: f(x)=T[a,x]. Проверим, что \Delta f совпадает с T. Возьмем произвольный промежуток [\alpha,\beta]\subset[a,b] и проверим, что \Delta f[\alpha,\beta]=T[\alpha,\beta].

    \[\Delta f[\alpha,\beta]=f(\beta)-f(\alpha)=T[a,\beta]-T[a,\alpha]=T[\alpha,\beta] .\]

Последнее равенство справедливо в силу аддитивности функции T.

Теорема. Пусть f,g:[a,b]\to\mathbb{R}. Тогда \Delta f=\Delta g \Leftrightarrow f-g — постоянная.

Доказательство. Достаточность. Пусть f-g — постоянная. Докажем, что \Delta f=\Delta g.

    \[\exists c\in\mathbb{R}:\ \forall x\in[a,b]\ f(x)-g(x)=c\ f(x)=g(x)+c.\]

Возьмем произвольный [\alpha,\beta\subset[a,b] и вычислим \Delta f[\alpha,\beta]:

    \[\Delta f[\alpha,\beta]=f(\beta)-f(\alpha)=(g(\beta)+c)-(g(\alpha)+c) =g(\beta)-g(\alpha)=\Delta g[\alpha,\beta] .\]

Необходимость. Пусть \Delta f=\Delta g.

    \[\begin{array}{l} \forall[\alpha,\beta]\subset[a,b]\quad\Delta f[\alpha,\beta]=\Delta g[\alpha,\beta] ,\\[2mm] f(\beta)-f(\alpha)=g(\beta)-g(\alpha). \end{array}\]

В частности, это справедливо для всевозможных отрезков вида [a,x]:

    \[f(x)-g(x)=f(a)-g(a) .\]

Следовательно, f-g — постоянная функция.

Задача 3. Докажите, что если T — аддитивная функция промежутка, то T[\alpha,\alpha]=0.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение