Интеграл и его применение. Первообразная | Математика, которая мне нравится

18. Интеграл и его применение. Первообразная

Пусть $f,F:X\to\mathbb{R}$ , функция дифференцируема. Функция называется первообразной функции , если $\forall x\in X$ $F^{\prime}(x)=f(x)$ .

Отыскание первообразной у функции носит название неопределенного интегрирования.

Обозначение. $\int f(x)dx$ – неоднозначно.

$F(x)=\int f(x)dx$ : F(x) – одна из первообразных функции f(x) .

Свойства первообразной

1. Пусть – первообразная функции , $c\in\mathbb{R}$ . Тогда F+c – первообразная функции .

Доказательство.

$(F+c)^{\prime}=F^{\prime}+c^{\prime}=F^{\prime}=f .$

Обратное неверно.

2. Пусть $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ , пусть и – первообразные функции . Тогда F-G – постоянная функция.

Доказательство.

$(F-G)^{\prime}=F^{\prime}-G^{\prime}=f-f=0 .$

F-G – функция с нулевой производной, заданная на промежутке. Значит, F-G – постоянная функция.

3. Если – первообразная функции , – первообразная функции , то F+G – первообразная функции f+g .

Доказательство.

$\begin{array}{l} (F+G)^{\prime}=F^{\prime}+G^{\prime}=f+g,\\[2mm] \int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx . \end{array}$

(последнее равенство справедливо с точностью до постоянной).

4. Пусть – первообразная функции , $\alpha\in\mathbb{R}$ . Тогда $\alpha F$ – первообразная функции $\alpha f$ .

Доказательство.

$\begin{array}{l} (\alpha F)^{\prime}=\alpha F^{\prime}=\alpha f,\\[2mm] \int\alpha f(x)dx=\alpha\int f(x)dx . \end{array}$

5. Пусть – первообразная функции , $\varphi$ – дифференцируемая функция. Тогда $F\circ \varphi$ – первообразная функции $(f\circ\varphi)\varphi^{\prime}$ .

Доказательство.

$\begin{array}{l} (F\circ\varphi)^{\prime}=(f^{\prime}\circ\varphi)\varphi^{\prime},\\[2mm] \int f(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)dx=F(\varphi(x))+c . \end{array}$

- формула замены переменной в неопределенном интеграле.

$\fbox{$\int f(\varphi(x))\varphi’(x)dx=\int f(t)dt=F(t)+c=F(\varphi(x))+c$}$

6. Пусть функции и дифференцируемы, пусть – первообразная функции $fg^{\prime}$ . Тогда fg-F – первообразная функции $f^{\prime}g$ .

Доказательство.

$(fg-F)^{\prime}=(fg)^{\prime}-F^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime}-fg^{\prime}=f^{\prime}g .$

Формула интегрирования по частям

$\fbox{$\int f^{\prime}(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^{\prime}(x)dx$}$

Таблица первообразных

$\begin{tabular}{|c|c|} \hline $f(x)=a=const$ & $F(x)=ax$\\[3mm] \hline $f(x)=x^a\ (a\ne-1)$ & $\displaystyle F(x)=\frac{1}{a+1}x^{a+1}$\\[4mm] \hline $f(x)=\sin x$ & $F(x)=-\cos x$\\[2mm] \hline $f(x)=\cos x$ & $F(x)=\sin x$\\[4mm] \hline $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}$ & $F(x)=-{\rm ctg}\, x$\\[4mm] \hline $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos^2 x}$ & $F(x)={\rm tg}\, x$\\[4mm] \hline $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ & $F(x)={\rm arctg}\, x$\\[4mm] \hline $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ & $F(x)={\rm arcsin}\, x$\\[4mm] \hline \end{tabular}$

Комментарии (RSS) | Трекбек

Комментариев: 3

1 Таня:

Скажите, пожалуйста, как правильно говорить: “интеграл от функции” или “интеграл функции”?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 30th, 2013 at 22:19
Интеграл функции.

[Ответить]
30 Май 2013, 13:42
2 Таня:

Спасибо!

[Ответить]
31 Май 2013, 10:12