18. Интеграл и его применение. Первообразная

Пусть f,F:X\to\mathbb{R}, функция F дифференцируема. Функция F называется первообразной функции f, если \forall x\in X F^{\prime}(x)=f(x).

Отыскание первообразной у функции носит название неопределенного интегрирования.

Обозначение. \int f(x)dx – неоднозначно.

F(x)=\int f(x)dx: F(x) – одна из первообразных функции f(x).

Свойства первообразной

1. Пусть F – первообразная функции f, c\in\mathbb{R}. Тогда F+c – первообразная функции f.

Доказательство.

(F+c)^{\prime}=F^{\prime}+c^{\prime}=F^{\prime}=f .

Обратное неверно.

2. Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, пусть F и G – первообразные функции f. Тогда F-G – постоянная функция.

Доказательство.

(F-G)^{\prime}=F^{\prime}-G^{\prime}=f-f=0 .

F-G – функция с нулевой производной, заданная на промежутке. Значит, F-G – постоянная функция.

3. Если F – первообразная функции f, G – первообразная функции g, то F+G – первообразная функции f+g.

Доказательство.

\begin{array}{l}<br />
(F+G)^{\prime}=F^{\prime}+G^{\prime}=f+g,\\[2mm]<br />
\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx .<br />
\end{array}

(последнее равенство справедливо с точностью до постоянной).

4. Пусть F – первообразная функции f, \alpha\in\mathbb{R}. Тогда \alpha F – первообразная функции \alpha f.

Доказательство.

\begin{array}{l}<br />
(\alpha F)^{\prime}=\alpha F^{\prime}=\alpha f,\\[2mm]<br />
\int\alpha f(x)dx=\alpha\int f(x)dx .<br />
\end{array}

5. Пусть F – первообразная функции f, \varphi – дифференцируемая функция. Тогда F\circ \varphi – первообразная функции (f\circ\varphi)\varphi^{\prime}.

Доказательство.

\begin{array}{l}<br />
(F\circ\varphi)^{\prime}=(f^{\prime}\circ\varphi)\varphi^{\prime},\\[2mm]<br />
\int f(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)dx=F(\varphi(x))+c .<br />
\end{array}

- формула замены переменной в неопределенном интеграле.

\fbox{$\int f(\varphi(x))\varphi’(x)dx=\int f(t)dt=F(t)+c=F(\varphi(x))+c$}

6. Пусть функции f и g дифференцируемы, пусть F – первообразная функции fg^{\prime}. Тогда fg-F – первообразная функции f^{\prime}g.

Доказательство.

(fg-F)^{\prime}=(fg)^{\prime}-F^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime}-fg^{\prime}=f^{\prime}g .

Формула интегрирования по частям

\fbox{$\int f^{\prime}(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^{\prime}(x)dx$}

Таблица первообразных

\begin{tabular}{|c|c|}<br />
\hline<br />
$f(x)=a=const$ & $F(x)=ax$\\[3mm]<br />
\hline<br />
$f(x)=x^a\ (a\ne-1)$ & $\displaystyle F(x)=\frac{1}{a+1}x^{a+1}$\\[4mm]<br />
\hline<br />
$f(x)=\sin x$ & $F(x)=-\cos x$\\[2mm]<br />
\hline<br />
$f(x)=\cos x$ & $F(x)=\sin x$\\[4mm]<br />
\hline<br />
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}$ & $F(x)=-{\rm ctg}\, x$\\[4mm]<br />
\hline<br />
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos^2 x}$ & $F(x)={\rm tg}\, x$\\[4mm]<br />
\hline<br />
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ & $F(x)={\rm arctg}\, x$\\[4mm]<br />
\hline<br />
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ & $F(x)={\rm arcsin}\, x$\\[4mm]<br />
\hline<br />
\end{tabular}

Комментариев: 3

  1. 1 Таня:

    Скажите, пожалуйста, как правильно говорить: “интеграл от функции” или “интеграл функции”?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Интеграл функции.

    [Ответить]

  2. 2 Таня:

    Спасибо!

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение