18. Интеграл и его применение. Первообразная
Пусть , функция
дифференцируема. Функция
называется первообразной функции
, если
.
Отыскание первообразной у функции носит название неопределенного интегрирования.
Обозначение. — неоднозначно.
:
— одна из первообразных функции
.
Свойства первообразной
1. Пусть — первообразная функции
,
. Тогда
— первообразная функции
.
Доказательство.
Обратное неверно.
2. Пусть , пусть
и
— первообразные функции
. Тогда
— постоянная функция.
Доказательство.
— функция с нулевой производной, заданная на промежутке. Значит,
— постоянная функция.
3. Если — первообразная функции
,
— первообразная функции
, то
— первообразная функции
.
Доказательство.
(последнее равенство справедливо с точностью до постоянной).
4. Пусть — первообразная функции
,
. Тогда
— первообразная функции
.
Доказательство.
5. Пусть — первообразная функции
,
— дифференцируемая функция. Тогда
— первообразная функции
.
Доказательство.
— формула замены переменной в неопределенном интеграле.
6. Пусть функции и
дифференцируемы, пусть
— первообразная функции
. Тогда
— первообразная функции
.
Доказательство.
Формула интегрирования по частям
Таблица первообразных
1 Таня:
Скажите, пожалуйста, как правильно говорить: “интеграл от функции” или “интеграл функции”?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 30th, 2013 at 22:19
Интеграл функции.
[Ответить]
2 Таня:
Спасибо!
[Ответить]
31 Май 2013, 10:12