18. Интеграл и его применение. Первообразная

Пусть f,F:X\to\mathbb{R}, функция F дифференцируема. Функция F называется первообразной функции f, если \forall x\in X F^{\prime}(x)=f(x).

Отыскание первообразной у функции носит название неопределенного интегрирования.

Обозначение. \int f(x)dx — неоднозначно.

F(x)=\int f(x)dx: F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Свойства первообразной

1. Пусть F — первообразная функции f, c\in\mathbb{R}. Тогда F+c — первообразная функции f.

Доказательство.

    \[(F+c)^{\prime}=F^{\prime}+c^{\prime}=F^{\prime}=f .\]

Обратное неверно.

2. Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, пусть F и G — первообразные функции f. Тогда F-G — постоянная функция.

Доказательство.

    \[(F-G)^{\prime}=F^{\prime}-G^{\prime}=f-f=0 .\]

F-G — функция с нулевой производной, заданная на промежутке. Значит, F-G — постоянная функция.

3. Если F — первообразная функции f, G — первообразная функции g, то F+G — первообразная функции f+g.

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} (F+G)^{\prime}=F^{\prime}+G^{\prime}=f+g,\\[2mm] \int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx . \end{array}\]

(последнее равенство справедливо с точностью до постоянной).

4. Пусть F — первообразная функции f, \alpha\in\mathbb{R}. Тогда \alpha F — первообразная функции \alpha f.

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} (\alpha F)^{\prime}=\alpha F^{\prime}=\alpha f,\\[2mm] \int\alpha f(x)dx=\alpha\int f(x)dx . \end{array}\]

5. Пусть F — первообразная функции f, \varphi — дифференцируемая функция. Тогда F\circ \varphi — первообразная функции (f\circ\varphi)\varphi^{\prime}.

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} (F\circ\varphi)^{\prime}=(f^{\prime}\circ\varphi)\varphi^{\prime},\\[2mm] \int f(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)dx=F(\varphi(x))+c . \end{array}\]

— формула замены переменной в неопределенном интеграле.

    \[\fbox{$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=\int f(t)dt=F(t)+c=F(\varphi(x))+c$}\]

6. Пусть функции f и g дифференцируемы, пусть F — первообразная функции fg^{\prime}. Тогда fg-F — первообразная функции f^{\prime}g.

Доказательство.

    \[(fg-F)^{\prime}=(fg)^{\prime}-F^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime}-fg^{\prime}=f^{\prime}g .\]

Формула интегрирования по частям

    \[\fbox{$\int f^{\prime}(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^{\prime}(x)dx$}\]

Таблица первообразных

    \[\begin{tabular}{|c|c|} \hline $f(x)=a=const$ & $F(x)=ax$\\[3mm] \hline $f(x)=x^a\ (a\ne-1)$ & $\displaystyle F(x)=\frac{1}{a+1}x^{a+1}$\\[4mm] \hline $f(x)=\sin x$ & $F(x)=-\cos x$\\[2mm] \hline $f(x)=\cos x$ & $F(x)=\sin x$\\[4mm] \hline $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}$ & $F(x)=-{\rm ctg}\, x$\\[4mm] \hline $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos^2 x}$ & $F(x)={\rm tg}\, x$\\[4mm] \hline $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ & $F(x)={\rm arctg}\, x$\\[4mm] \hline $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ & $F(x)={\rm arcsin}\, x$\\[4mm] \hline \end{tabular}\]

Комментариев: 3

  1. 1 Таня:

    Скажите, пожалуйста, как правильно говорить: “интеграл от функции” или “интеграл функции”?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Интеграл функции.

    [Ответить]

  2. 2 Таня:

    Спасибо!

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение