Математика, которая мне нравится

Пусть f,F:X\to\mathbb{R}, функция F дифференцируема. Функция F называется первообразной функции f, если \forall x\in X F^{\prime}(x)=f(x).

Отыскание первообразной у функции носит название неопределенного интегрирования.

Обозначение. \int f(x)dx – неоднозначно.

F(x)=\int f(x)dx: F(x) – одна из первообразных функции f(x).

Свойства первообразной

1. Пусть F – первообразная функции f, c\in\mathbb{R}. Тогда F+c – первообразная функции f.

Доказательство.

Обратное неверно.

2. Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}, пусть F и G – первообразные функции f. Тогда F-G – постоянная функция.

Доказательство.

F-G – функция с нулевой производной, заданная на промежутке. Значит, F-G – постоянная функция.

3. Если F – первообразная функции f, G – первообразная функции g, то F+G – первообразная функции f+g.

Доказательство.

(последнее равенство справедливо с точностью до постоянной).

4. Пусть F – первообразная функции f, \alpha\in\mathbb{R}. Тогда \alpha F – первообразная функции \alpha f.

Доказательство.

5. Пусть F – первообразная функции f, \varphi – дифференцируемая функция. Тогда F\circ \varphi – первообразная функции (f\circ\varphi)\varphi^{\prime}.

Доказательство.

- формула замены переменной в неопределенном интеграле.

6. Пусть функции f и g дифференцируемы, пусть F – первообразная функции fg^{\prime}. Тогда fg-F – первообразная функции f^{\prime}g.

Доказательство.

Формула интегрирования по частям

Таблица первообразных