17. Доказательство неравенств

Теорема. Если функции f,g:[x_0,x_1)\to\mathbb{R} и n раз дифференцируемы там,
причем

f^{(k)}(x_0)=g^{(k)}(x_0)\qquad(k=0,1,\dots,n-1) ,

а f^{(n)}(x)>g^{(n)}(x) \forall x> x_0,x\in[x_0,x_1), то имеет место неравенство f(x)> g(x) при x> x_0.

Задачи.

1. Докажите теорему.

2. Докажите неравенства:

1) Если x> 0, то

\displaystyle 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}< \sqrt{1+x}< 1+\frac{x}{2} .

2) Если x> 0, то \displaystyle \cos x > 1-\frac{x^2}{2}.

3) Если x > 0, то для любого натурального числа n

\displaystyle \sum_{k=0}^{2n-1}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}< \sin x < \sum_{k=0}^{2n}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} .

4) Если \displaystyle 0 <\alpha < \beta < \frac{\pi}{2}, то \alpha\sin\beta < \beta\sin\alpha.

5) Если \displaystyle 0 <\alpha < \beta < \frac{\pi}{2}, то \alpha{\rm tg}\, \beta < \beta{\rm tg}\, \alpha.

3. Неравенство Бернулли. Докажите неравенства

1) Если \alpha > 1,\ x > -1, x\ne0, то (1+x)^{\alpha} > 1+\alpha x.

2) Если 0 < \alpha < 1,\ x > -1, x\ne0, то (1+x)^{\alpha} < 1+\alpha x.

3) Если \alpha < 0,\ x > -1, x\ne0, то (1+x)^{\alpha} > 1+\alpha x.

4) Если x > 0, то

\displaystyle \left( 1+\frac{1}{x}\right)^x < \left( 1+\frac{1}{x+1}\right)^{x+1} .

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение