16. Формула Тейлора

Рассмотрим произвольный многочлен степени n

P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\dots+a_n,

где a_i\in\mathbb{R}, i=0,1,2,\dots,n, a_0\ne0. Пусть a\in\mathbb{R} – произвольное число. Разложим многочлен P(x) по степеням (x-a):

P(x)=b_0(x-a)^n+b_1(x-a)^{n-1}+\dots+b_n.

Найдем коэффициенты b_0,b_1,\dots,b_n:

\begin{array}{l}<br />
b_n=P(a),\\<br />
P^{\prime}(x)=b_{n-1}+2b_{n-2}(x-a)+\dots+nb_0(x-a)^{n-1},\\<br />
b_{n-1}=P^{\prime}(a),\\<br />
P^{\prime\prime}(x)=2b_{n-2}+6b_{n-3}(x-a)+\dots+n(n-1)b_0(x-a)^{n-2},\\<br />
b_{n-2}=P^{\prime\prime}(a)/2,\\<br />
P^{(k)}(x)=k!b_{n-k}+\ldots,\\<br />
P^{(k)}(a)=k!b_{n-k},\\[3mm]<br />
\displaystyle b_{n-k}={P^{(k)}(a)\over k!}.<br />
\end{array}

\displaystyle P(x)=P(a)+P^{\prime}(a)(x-a)+{P^{\prime\prime}(a)\over 2}(x-a)^2+\dots+{P^{(n)}(a)\over n!}(x-a)^n=\qquad\qquad =\sum_{k=0}^n{P^{(k)}(a)\over k!}(x-a)^k

- формула Тейлора для многочленов.

Определение. Пусть f:X\to\mathbb{R}, a\in X, функция f n раз дифференцируема в точке a. n-м многочленом Тейлора функции f в точке a называется многочлен

\displaystyle T_n(a;x)=\sum_{k=0}^n{f^{(k)}(a)\over k!}(x-a)^k.

Пример. Пусть f(x)=\sin x,\ a=0.

\displaystyle T_3(0;x)=f(0)+f^{\prime}(0)x+{f^{\prime\prime}(0)\over 2}x^2+{f^{\prime\prime\prime}(0)\over3!}x^3=x-{x^3\over 6} ,

f(0)=0,\ f^{\prime}(0)=1,\ f^{\prime\prime}(0)=0,\ f^{\prime\prime\prime}(0)=-1.

Определение. Разность f(x)-T_n(a;x) называется n-м остатком и обозначается r_n(x).

Формула f(x)=T_n(a;x)+r_n(x) называется формулой Тейлора.

Оценим остаточный член в формуле Тейлора. Рассмотрим функцию F:

\begin{array}{l}<br />
F(t)=f(x)-T_n(t;x),\\<br />
\displaystyle<br />
T_n(t;x)=\sum_{k=0}^n{f^{(k)}(x)\over k!}(x-t)^k .<br />
\end{array}

Пусть функция f n+1 раз дифференцируема. Тогда функция F дифференцируема и

F^{\prime}(t)=-T_n^{\prime}(t;x) .\hskip9cm (**)

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\left({f^{(k)}(t)\over k!}(x-t)^k\right)^{\prime}={1\over k!}\left( f^{(k+1)}(t)(x-t)^k-kf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}\right)=\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
={f^{(k+1)}(t)\over k!}(x-t)^k-{f^{(k)}(t)\over (k-1)!}(x-t)^{k-1}.<br />
\end{array}

Тогда из равенства (**) получаем

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
F^{\prime}(t)=-\left(f^{\prime}(t)+{f^{\prime\prime}(t)\over 1!}(x-t)-{f(t)\over 0!}(x-t)^0+\right.\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
\left.+{f^{\prime\prime\prime}(t)\over 2!}(x-t)^2-{f^{\prime\prime}(t)\over 1!}(x-t)^1+\dots\right)=-{f^{(n+1)}(t)\over n!}(x-t)^n.<br />
\end{array}

Очевидно, что F(x)=0.

1. Рассмотрим функцию \varphi, заданную на исходном промежутке по правилу \varphi(t)=x-t.

Применим к функциям F и \varphi и к отрезку, концами которого являются точки t и x, теорему Коши. Поскольку функция F дифференцируема, а \varphi^{\prime}(t)=-1, получаем, что существует точка c, лежащая между t и x:

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
{F(x)-F(t)\over \varphi(x)-\varphi(t)}={F^{\prime}(c)\over \varphi^{\prime}(c)},\\[4mm]<br />
F(x)=f(x)-T_n(x,x)=0,\ F(t)=f(x)-T_n(t;x)=r_n(x),\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
{-r_n(x)\over 0-(x-t)}={-{f^{(n+1)}(c)\over n!}(x-c)^n\over -1},\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
r_n(x)={f^{(n+1)}(c)\over n!}(x-c)^n(x-t).<br />
\end{array}

Доказано следующее: если функция f n+1 раз дифференцируема на промежутке X, t\in X, то \forall x\in X существует точка c между t и x, такая, что

\displaystyle r_n(x)={f^{(n+1)}(c)\over n!}(x-c)^n(x-t) .

\displaystyle f(x)=T_n(t;x)+{f^{(n+1)}(c)\over n!}(x-c)^n(x-t) .\hskip3cm(1)

2. Рассмотрим функцию \varphi(t)=(x-t)^{n+1}, \varphi^{\prime}(t)=-(n+1)(x-t)^n, \varphi^{\prime}(t)\ne0, если t\ne x. Применим теорему Коши. Существует точка c между точками t и x, такая, что

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
{F(x)-F(t)\over \varphi(x)-\varphi(t)}={F^{\prime}(c)\over \varphi^{\prime}(c)},\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
{-r_n(x)\over 0-(x-t)^{n+1}}={-{f^{(n+1)}(c)\over n!}(x-c)^n\over -1\cdot(n+1)(x-c)^n},\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
r_n(x)={f^{(n+1)}(c)\over (n+1)!}(x-t)^{n+1}.<br />
\end{array}

Доказано следующее: если функция f n+1 раз дифференцируема на промежутке X, t\in X, то \forall x\in X существует точка c между t и x, такая, что

\displaystyle r_n(x)={f^{(n+1)}(c)\over (n+1)!}(x-t)^{n+1} . \hskip7.9cm (2)

\displaystyle f(x)=T_n(t;x)+r_n(x)={f^{(n+1)}(c)\over (n+1)!}(x-t)^{n+1}

Формулы (1) и (2) носят название формул Тейлора. Формула (1) – формула Тейлора с остатком в форме Коши, а формула (2) – формула Тейлора с остатоком в форме Лагранжа.

Следствие. Пусть f:X\to\mathbb{R} и бесконечно дифференцируема. Пусть существует такое
M, что \forall x\in X и \forall n\in\mathbb{N}

\left| f^{(n)}(x)\right|\le M.

Тогда

\displaystyle \left| r_n(x)\right|\le{M\over (n+1)!}|x-t|^{n+1} .

В частности, \displaystyle\lim_{n\to\infty}r_n(x)=0, откуда \displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}T_n(t,x).

Пример. f(x)=\sin x,\ t=0,\ n=3.
\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
T_3(0;x)=x-{x^3\over 6},\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
r_3\le{1\over 4!}|x|^4;\ \sin1={5\over 6};\ r_3(1)\le{1\over 24} .<br />
\end{array}

Задача. Пусть функция f n раз дифференцируема в точке t, T_n – ее многочлен Тейлора. Докажите, что

f(t)=T_n(t),\ f^{\prime}(t)=T_n^{\prime}(t),\dots,\ f^{(n)}(t)=T_n^{(n)}(t) .

Задача. Пусть функция f n раз дифференцируема в точке t, а
\begin{array}{l}<br />
P(x)=c_0(x-t)^n+c_1(x-t)^{n-1}+\dots+c_n,\\<br />
f(t)=P(t),\ f^{\prime}(t)=p^{\prime}(t),\dots,\ f^{(n)}(t)=P^{(n)}(t) .<br />
\end{array}
Докажите, что тогда P – многочлен Тейлора функции f.

Задача. Пусть f n раз дифференцируема в точке t и

f(t)=f^{\prime}(t)=f^{\prime\prime}(t)=\dots=f^{(n)}(t)=0 .

Доказать, что существует функция \alpha: \displaystyle \lim_{x\to t}\alpha(x)=0 и

f(t)=\alpha(x)(x-t)^n .

Задача. Пусть f n раз дифференцируема в точке t, а T_n – ее n-й многочлен Тейлора. Тогда существует функция \alpha: \displaystyle \lim_{x\to t}\alpha(x)=0:

f(x)=T_n(t)+\alpha(x)(x-t)^n

- формула Тейлора с остатком в форме Пеано.

Задача. Пусть функция f n раз дифференцируема в точке t, а полином

P(x)=c_0(x-t)^n+c_1(x-t)^{n-1}+\dots+c_n

такой, что

f(x)=P(x)+\alpha(x)(x-t)^n, где \displaystyle \lim_{x\to t}\alpha(x)=0 .

Докажите, что P(x)=T_n(t;x).

Один комментарий

  1. 1 Математика может спасти вашу жизнь ... и отнять ее | Математика, которая мне нравится:

    [...] погрешность аппроксимации произвольной функции полиномом Тейлора с членами. Если Вы сделаете это правильно, я Вас [...]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение