15. Правила Лопиталя*

Швейцарский математик Иоганн I Бернулли (1667-1748) после успешного окончания Базельского университета, путешествуя по Европе, в 1690 году приезжает в Париж. В литературном салоне философа Никола Мальбранша (1638-1715) Иоганн знакомится с французским математиком маркизом Гийомом Франсуа Антуаном де Лопиталем (1661-1704). В ходе оживленной беседы Лопиталь удивился, как легко, “как бы играя”, юнец Бернулли решал трудные задачи по новому исчислению. Поэтому Лопиталь попросил прочитать ему несколько лекций. Устные беседы понравились Лопиталю, и он за приличный гонорар стал получать материалы в письменном виде. Заметим, что общеизвестное теперь “правило Лопиталя” для раскрытия неопределенностей также было передано ему Иоганном. Уже в 1696 году появился знаменитый трактат Лопиталя “Введение в анализ бесконечно малых для понимания кривых линий”. Вторая часть курса, изложенного Иоганном I Бернулли, была опубликована лишь в 1742 году и называлась “Математические лекции о методе интегралов и другие; написаны для знаменитого маркиза Госпиталия; годы 1691-1692”. В 1921 году были обнаружены рукописные копии лекций, написанные рукой Иоганна I Бернулли, оригиналы которых были переданы Лопиталю в 1691-1692 гг. Из них ученые неожиданно обнаружили, что Лопталь в своем “Анализе” почти не отступал от лекций своего молодого учителя.

Теорема (Коши). Пусть функции f и g непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b) и g^{\prime}(x)\ne0 \forall x\in(a,b). Тогда \exists c\in(a,b):

\displaystyle {f(b)-f(a)\over g(b)-g(a)}={f^{\prime}(c)\over g^{\prime}(c)}.

Доказательство. Рассмотрим функцию

F(x)=f(x)-Ag(x).

A выберем так, чтобы выполнялись все условия теоремы Ролля, т.е. F(b)=F(a).

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle f(a)-Ag(a)=f(b)-Ag(b),\\[4mm]<br />
\displaystyle A={f(b)-f(a)\over g(b)-g(a)},\\[4mm]<br />
\displaystyle F(x)=f(x)-{f(b)-f(a)\over g(b)-g(a)}g(x).<br />
\end{array}

По теореме Ролля существует c\in(a,b):

\displaystyle F^{\prime}(c)=f^{\prime}(c)-{f(b)-f(a)\over g(b)-g(a)}g^{\prime}(c)=0.

Первое правило Лопиталя

Определение. Пусть функции f,g:[a,b]\to\mathbb{R}, непрерывны на [a,b], дифференцируемы в (a,b), причем \forall x\in(a,b)\ g^{\prime}(x)\ne0. Пусть f(a)=g(a)=0. Тогда говорят, что отношение \displaystyle {f(x)\over g(x)} при x\to a+0 представляет собой неопределенность вида \displaystyle {0\over 0}.

Теорема. Если при указанных условиях существует

\displaystyle \lim_{x\to a+0}{f^{\prime}(x)\over g^{\prime}(x)}=A,

то и

\displaystyle \lim_{x\to a+0}{f(x)\over g(x)}=A.

Пусть A конечно. По \varepsilon>0 выберем x_0: в интервале (a,x_0) выполняется неравенство

\displaystyle \left|{f^{\prime}(x)\over g^{\prime}(x)}-A\right|<\varepsilon .\hskip9.5cm (1)

Применим теорему Коши к отрезку (a,x), где a<x<x_0. Существует c\in(a,x_0):

\displaystyle {f(x)\over g(x)}={f(x)-f(a)\over g(x)-g(a)}={f^{\prime}(c)\over g^{\prime}(c)}

и, значит, \forall x: a<x<x_0

\displaystyle \left|{f(x)\over g(x)}-A\right|=\left|{f^{\prime}(c)\over g^{\prime}(c)}-A\right|<\varepsilon .

Это и означает, что \displaystyle A=\lim_{x\to a+0}{f(x)\over g(x)}.

В случае, когда A бесконечно, неравенство (1) заменяется на

\displaystyle {f^{\prime}(x)\over g^{\prime}(x)}>{1\over \varepsilon} или \displaystyle {f^{\prime}(x)\over g^{\prime}(x)}<-{1\over \varepsilon}

в зависимости от знака A. В остальном доказательство не меняется.

Второе правило Лопиталя

Определение. Пусть функции f,g:(a,b)\to\mathbb{R}, непрерывны и дифференцируемы в (a,b), причем \forall x\in(a,b)\ g^{\prime}(x)\ne0. Пусть f(a)=g(a)=\infty. Тогда говорят, что отношение \displaystyle {f(x)\over g(x)} при x\to a+0 представляет собой неопределенность вида \displaystyle {\infty\over \infty}.

Теорема. Если при указанных условиях существует

\displaystyle \lim_{x\to a+0}{f^{\prime}(x)\over g^{\prime}(x)}=A,

то и

\displaystyle \lim_{x\to a+0}{f(x)\over g(x)}=A.

Доказательство. Пусть A конечно. По \varepsilon>0 выберем x_0: в интервале (a,x_0) выполняется неравенство

\displaystyle \left|{f^{\prime}(x)\over g^{\prime}(x)}-A\right|<\varepsilon.\hskip9cm (2)

Определим функцию D(x,x_0) из условия

\displaystyle {f(x)\over g(x)}={f(x)-f(x_0)\over g(x)-g(x_0)}D(x,x_0).

Имеем

\displaystyle D(x,x_0)={{g(x)-g(x_0)\over g(x)}\over {f(x)-f(x_0)\over f(x)}}={1-{g(x_0)\over g(x)}\over 1-{f(x_0)\over f(x)}}\to1 \hskip5cm (3)

при x\to a+0. Применим к отрезку [x,x_0] теорему Коши. Получим, что существует c\in(x,x_0):

\displaystyle {f(x)\over g(x)}={f^{\prime}(c)\over g^{\prime}(c)}\cdot D(x,x_0)={f^{\prime}(c)\over g^{\prime}(c)}+{f^{\prime}(c)\over g^{\prime}(c)}(D(x,x_0)-1).

Для тех x, для которых |D(x,x_0)-1|<\varepsilon

\displaystyle\left|{f(x)\over g(x)}-A\right|\le\left|{f^{\prime}(x)\over g^{\prime}(x)}-A\right|+\left|{f^{\prime}(c)\over g^{\prime}(c)}\right||D(x,x_0)-1|\le\varepsilon+(|A|+\varepsilon)\varepsilon .\ (4)

Так как \varepsilon произвольно мало, то

\displaystyle\lim_{x\to a+0}{f(x)\over g(x)}=A.

В случае, когда A=+\infty, неравенство (2) заменяется на

\displaystyle {f^{\prime}(x)\over g^{\prime}(x)}>{1\over \varepsilon} ,

а неравенство (4) – на неравенство

\displaystyle {f(x)\over g(x)}\ge{f^{\prime}(c)\over g^{\prime}(c)}\cdot{1\over 2},

имеющим место при x, достаточно близких к a в силу (3).

Аналогично рассматривается случай A=-\infty.

Комментариев: 4

  1. 1 Найдите ошибку: правило Лопиталя | Математика, которая мне нравится:

    [...] такой вот софизм. Математический анализ, правило Лопиталя. Думаю, многие хорошо его знают. В самом деле хорошо? [...]

  2. 2 Правило Лопиталя или правило Бернулли? | Математика, которая мне нравится:

    [...] правила для вычисления пределов вида . В частности, правило Лопиталя гласит, что для двух данных функций и , непрерывных и [...]

  3. 3 Инесса:

    1) Спасибо, сайт прекрасен.
    2) В формулах (1)и(2)при доказательстве правил Лопиталя опечатка: А помещено в знаменатель

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Инесса, спасибо! Исправила.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение