Математика, которая мне нравится

Определение. Пусть X – промежуток, f: X\to\mathbb{R}. Функция f называется выпуклой, если всякий отрезок, соединяющий две произвольные точки графика функции f, лежит не ниже дуги графика функции f, соединяющей эти точки.

Пусть x_1,x_2\in X,x\in(x_1,x_2). Найдем ординату точки C. Из подобия треугольников ABD и ACE имеем

Условие выпулости функции f запишется следующим образом:

Перепишем это условие в несколько ином виде.

Очевидно, что (1)\Leftrightarrow(2).

Функция выпукла в том и только в том случае, если \forall x_1,x_2,x:\ x_1<x<x_2 выполняется условие (2).

Теорема (критерий выпуклости для дифференцируемых функций). Пусть f:X\to\mathbb{R}, X – промежуток, функция f дифференцируема. Функция f является выпуклой тогда и только тогда, когда функция f^{\prime} возрастает.

Доказательство. \Rightarrow

Так как f выпукла, то выполняется неравенство (2). Перейдем к пределу в этом неравенстве сначала при x\to x_1, а затем при x\to x_2. По теореме о предельном переходе в неравенствах имеем

\forall x_1,x_2,x_1<x_2 f^{\prime}(x_1)\le f^{\prime}(x_2), значит, f^{\prime} возрастает.

\Leftarrow

Возьмем любые x_1,x_2,x\in X,\ x_1<x<x_2. Применим теорему Лагранжа к функции f на промежутке [x_1,x], а затем на [x,x_2]:

Так как f^{\prime} возрастает, то f^{\prime}(c_1)\le f^{\prime}(c_2) \Rightarrow

Отсюда следует, что f выпукла.

Теорема. Пусть f:X\to\mathbb{R}, X – промежуток, f дифференцируема. Тогда функция f выпукла тогда и только тогда, когда график функции f лежит выше всякой касательной к графику.

Доказательство. Уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой a имеет вид

\Rightarrow

Рассмотрим разность

По теореме Лагранжа, примененной к промежутку с концами a,x

Так как f выпукла, то f^{\prime} возрастает.

1)

2)

3)
x=a\ f(x)=l(x).

Значит, \forall x\ f(x)\ge l(x).

\Rightarrow

Вместо a берем x, вместо x – x_1:

Вместо a берем x, вместо x – x_2:

Отсюда

Замечание. Рассмотренные нами выпуклые функции иногда называют выпуклыми вниз функциями. Аналогично определяются выпуклые вверх (вогнутые) функции, для которых справедливы аналогичные теоремы.

Определение. Если в окрестности точки a точки графика функции f лежат как выше, так и ниже касательной, то точка a называется точкой перегиба.

Определение выпуклости равносильно следующему

Утверждение. Функция f выпукла тогда и только тогда, когда \forall x_1,x_2\in X \forall\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}, \alpha_1,\alpha_2\ge0, \alpha_1+\alpha_2=1

Это утверждение следует из следующего утверждения:

Доказательство. Необходимость. Пусть x\in[x_1,x_2]. Положим \alpha_2=1-\alpha_1. Тогда

Очевидно, что все условия на \alpha_1,\alpha_2 выполнены.

Достаточность. Пусть x=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2, \alpha_1,\alpha_2\ge0, \alpha_1+\alpha_2=1. Нужно доказать, что \alpha_1x_1+\alpha_2x_2\in[x_1,x_2]. Докажем, что x_1\le\alpha_1x_1+\alpha_2x_2.

- а это очевидно.

Замечание. Доказано больше: \forall x\in[x_1,x_2] найдется единственная пара чисел \alpha_1,\alpha_2\ge0, \alpha_1+\alpha_2=1, такая, что \alpha_1x_1+\alpha_2x_2=x, кроме того, получены формулы для \alpha_1 и \alpha_2.

Определение. Пара чисел \alpha_1,\alpha_2 называется барицентрическими координатами точки x.