14. Выпуклые функции
Определение. Пусть — промежуток,
:
. Функция
называется выпуклой, если всякий отрезок, соединяющий две произвольные точки графика функции
, лежит не ниже дуги графика функции
, соединяющей эти точки.
Пусть . Найдем ординату точки
. Из подобия треугольников
и
имеем
Условие выпуклости функции запишется следующим образом:
Перепишем это условие в несколько ином виде.
Очевидно, что (1)(2).
Функция выпукла в том и только в том случае, если выполняется условие (2).
Теорема (критерий выпуклости для дифференцируемых функций). Пусть ,
— промежуток, функция
дифференцируема. Функция
является выпуклой тогда и только тогда, когда функция
возрастает.
Доказательство.
Так как выпукла, то выполняется неравенство (2). Перейдем к пределу в этом неравенстве сначала при
, а затем при
. По теореме о предельном переходе в неравенствах имеем
, значит,
возрастает.
Возьмем любые . Применим теорему Лагранжа к функции
на промежутке
, а затем на
:
Так как возрастает, то
Отсюда следует, что выпукла.
Теорема. Пусть ,
— промежуток,
дифференцируема. Тогда функция
выпукла тогда и только тогда, когда график функции
лежит выше всякой касательной к графику.
Доказательство. Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
имеет вид
Рассмотрим разность
По теореме Лагранжа, примененной к промежутку с концами
Так как выпукла, то
возрастает.
1)
2)
3)
.
Значит, .
Вместо берем
, вместо
—
:
Вместо берем
, вместо
—
:
Отсюда
Замечание. Рассмотренные нами выпуклые функции иногда называют выпуклыми вниз функциями. Аналогично определяются выпуклые вверх (вогнутые) функции, для которых справедливы аналогичные теоремы.
Определение. Если в окрестности точки точки графика функции
лежат как выше, так и ниже касательной, то точка
называется точкой перегиба.
Определение выпуклости равносильно следующему
Утверждение. Функция выпукла тогда и только тогда, когда
,
,
Это утверждение следует из следующего утверждения:
Доказательство. Необходимость. Пусть . Положим
. Тогда
Очевидно, что все условия на выполнены.
Достаточность. Пусть ,
,
. Нужно доказать, что
. Докажем, что
.
— а это очевидно.
Замечание. Доказано больше: найдется единственная пара чисел
,
, такая, что
, кроме того, получены формулы для
и
.
Определение. Пара чисел называется барицентрическими координатами точки
.
1 Дмитрий:
Статья отличная, спасибо. Для первого знакомства даже хорошо, что определение геометрическое, а основное определение дается как критерий. Теоремы очень помогли в курсовой
[Ответить]
6 Февраль 2016, 21:12