13. Исследование дифференцируемой функции на монотонность

Везде в дальнейшем считаем множество X промежутком.

Теорема 1. Пусть X – промежуток, f:X\to\mathbb{R}, f дифференцируема на X. Тогда

1) функция f возрастает тогда и только тогда, когда в любой внутренней точке x промежутка X f^{\prime}(x)\ge0;

2) функция f убывает тогда и только тогда, когда в любой внутренней точке x промежутка X f^{\prime}(x)\le0.

Доказательство. Необходимость.
Пусть функция f возрастает. Тогда докажем, что \forall x\in X (x – внутренняя точка X) f^{\prime}(x)\ge0.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}{f(x+h)-f(x)\over h},\\[4mm]<br />
\displaystyle h\mapsto {f(x+h)-f(x)\over h},\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
h>0\Longrightarrow x+h>x\Longrightarrow f(x+h)\ge f(x)\Longrightarrow {f(x+h)-f(x)\over h}\ge0,\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
h<0\Longrightarrow x+h<x\Longrightarrow f(x+h)\le f(x)\Longrightarrow {f(x+h)-f(x)\over h}\ge0,\\[4mm]<br />
\displaystyle\forall h\ {f(x+h)-f(x)\over h}\ge0,\\[4mm]<br />
f^{\prime}(x)\ge0.<br />
\end{array}

Достаточность. Пусть \forall x\in X f^{\prime}(x)\ge0. Докажем, что функция f возрастает.

\forall x_1,x_2\in X:\ x_1<x_2 нужно доказать, что f(x_1)\le f(x_2).

Применим к отрезку [x_1,x_2] теорему Лагранжа. По этой теореме \exists\ c\in (x_1,x_2):

f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime}(c)(x_2-x_1).

Тогда

\left.\begin{array}{l}<br />
x_2-x_1>0,\\[2mm]<br />
f^{\prime}(c)\ge0,<br />
\end{array}\right|\Longrightarrow f(x_2)-f(x_1)\ge0\Longrightarrow f(x_2)\ge f(x_1).

Теорема 2. Пусть f:X\to\mathbb{R}, f дифференцируема на X. Для того чтобы функция f была постоянной, необходимо и достаточно, чтобы \forall x\in X f^{\prime}(x)=0.

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность. Нужно доказать, что если \forall x\in X f^{\prime}(x)=0, то функция f постоянна. Доказательство можно получить либо из теоремы Лагранжа, либо как следствие предыдущей теоремы.

Замечание. Теорема остается верной, если предположить равенство нулю производной только во внутренних точках множества X.

Теорема 3. Критерий строгой монотонности для дифференцируемой функции.

Пусть f:X\to\mathbb{R}, f дифференцируема на X. Для того чтобы функция f строго возрастала (убывала), необходимо и достаточно, чтобы \forall x\in X f^{\prime}(x)\ge0 (\le0) и не существовало бы промежутка ненулевой длины, во всех точках которого производная обращается в нуль.

Доказательство. Необходимость.
Пусть функция f строго возрастает. По теореме 1 \forall x\in X f^{\prime}(x)\ge0. Если бы на некотором промежутке ненулевой длины производная обращалась бы в нуль, то по теореме 2 на этом промежутке функция f была бы постоянна, а это противоречит строгому возрастанию.

Достаточность. По теореме 1 функция f возрастает, поэтому достаточно доказать, что \forall x_1,x_2\in X: x_1<x_2 f(x_1)\ne f(x_2).

Докажем это от противного. Пусть f(x_1)=f(x_2), тогда на промежутке [x_1,x_2] функция f постоянна. Значит, \forall x\in[x_1,x_2] f^{\prime}(x)=0. Это противоречит тому, что не существует промежутка ненулевой длины, на котором f^{\prime}(x)=0.

Замечание. Из положительности производной следует строгое возрастание функции. Обратное неверно: f(x)=x^3.

Задачи. Для следующих функций укажите промежутки монотонности:

1) f(x)=x^3+x;

2) f(x)=(x-1)^5(2x+3)^4;

3) \displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x};

4) f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x-1};

5) f(x)=\sin^3x+\cos^3x.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение