11. Применение производной. Точки экстремума

Определение. Пусть f:X\to\mathbb{R}, a\in X. Точка a называется точкой локального максимума функции f, если существует такой открытый промежуток U, a\in U, что \forall x\in X\cap U f(x)\le f(a).

Определение. Пусть f:X\to\mathbb{R}, a\in X. Точка a называется точкой локального минимума функции f, если существует такой открытый промежуток U, a\in U, что \forall x\in X\cap U f(x)\ge f(a).

Пример. Пусть f:[0,1]\to\mathbb{R}, f(x)=x.

0 – точка минимума, 1 – точка максимума.

Определение. Точка a называется точкой экстремума, если a либо точка минимума, либо точка максимума.

Теорема (Ферма). Пусть X – промежуток, f:X\to\mathbb{R}, a – внутренняя точка X, a – точка экстремума функции f. Пусть f дифференцируема в точке a. Тогда f^{\prime}(a)=0.

Доказательство.

\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}{f(x)-f(a)\over x-a} .

Пусть a – точка максимума \Rightarrow существует открытый промежуток U:

\begin{array}{lll}<br />
\forall x\in U\cap X&f(x)\le f(a),&\\[4mm]<br />
x\in U\cap X&x<a\Rightarrow&\displaystyle {f(x)-f(a)\over x-a}\ge0,\\[4mm]<br />
x\in U\cap X&x>a\Rightarrow&\displaystyle {f(x)-f(a)\over x-a}\le0,\\[4mm]<br />
\displaystyle \lim_{x\to a-0}{f(x)-f(a)\over x-a}\ge0&&\displaystyle\lim_{x\to a+0}{f(x)-f(a)\over x-a}\le0,\\[4mm]<br />
\displaystyle \lim_{x\to a}{f(x)-f(a)\over x-a}=0 .&&<br />
\end{array}

Замечание. Обращение теоремы Ферма неверно.

\begin{array}{l}<br />
f(x)=x^3,\\[2mm]<br />
f^{\prime}(x)=3x^2,\\[2mm]<br />
f^{\prime}(0)=0.<br />
\end{array}
Несмотря на то что производная f в нуле равна нулю, 0 не точка экстремума.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение