Производные тригонометрических функций | Математика, которая мне нравится

10. Производные тригонометрических функций*

Теорема. Пусть {\bf r} – вектор-функция, траектория которой – окружность. Тогда \forall t из области определения {\bf r} {\bf r}(t)\bot{\bf r}^{\prime}(t).

Доказательство.

1) Так как {\bf r}^{\prime}(t) направлен по касательной к окружности, проходящей через конец вектора {\bf r}(t), то по теореме о радиусе, проведенном в точку касания, получаем, что {\bf r}(t)\bot{\bf r}^{\prime}(t).

2) (не используя то, что вектор {\bf r}^{\prime}(t) направлен по касательной)

Пусть R – радиус окружности, |{\bf r}(t)|=R. Тогда

$\begin{array}{l} \forall t\ {\bf r}(t)\cdot{\bf r}(t)=R^2,\\[2mm] {\bf r}^{\prime}(t){\bf r}(t)+{\bf r}(t){\bf r}^{\prime}(t)=0,\\[2mm] 2{\bf r}^{\prime}(t){\bf r}(t)=0,\\[2mm] {\bf r}^{\prime}(t){\bf r}(t)=0,\\[2mm] {\bf r}(t)\bot{\bf r}^{\prime}(t) . \end{array}$

Теорема (вычисление производной синуса и косинуса).

$\forall t\ \begin{array}{l} \sin^{\prime} t=\cos t,\\[2mm] \cos^{\prime} t=-\sin t . \end{array}$

Доказательство. Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат. Будем считать, что {\bf i} и {\bf j} – декартов базис множества векторов на плоскости. Рассмотрим вектор-функцию

${\bf r}(t)={\bf i}\cos t+{\bf j}\sin t .$

$\forall t\ {\bf r}^{\prime}(t)=(\cos^{\prime}t,\sin^{\prime}t) .$

Так как {\bf r}^{\prime}(t)\bot{\bf r}(t), а |{\bf r}^{\prime}(t)|=1 (так как движемся с единичной скоростью) – {\bf r}^{\prime} – вектор единичной длины, перпендикулярный данному. Тогда

$\begin{array}{l} {\bf r}(t)=(\cos t,\sin t),\\[2mm] {\bf r}^{\prime}(t)=(-\sin t,\cos t) \vee {\bf r}^{\prime}(t)=(\sin t,-\cos t). \end{array}$