10. Производные тригонометрических функций*
Теорема. Пусть — вектор-функция, траектория которой — окружность. Тогда
из области определения
.
Доказательство.
1) Так как
направлен по касательной к окружности, проходящей через конец вектора
, то по теореме о радиусе, проведенном в точку касания, получаем, что
.
2) (не используя то, что вектор направлен по касательной)
Пусть — радиус окружности,
. Тогда
Теорема (вычисление производной синуса и косинуса).
Доказательство. Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат. Будем считать, что и
— декартов базис множества векторов на плоскости. Рассмотрим вектор-функцию
Так как , а
(так как движемся с единичной скоростью) —
— вектор единичной длины, перпендикулярный данному. Тогда
Вектор получается поворотом
на
. Тем самым,
и
Оставьте свой отзыв