Производные тригонометрических функций | Математика, которая мне нравится

10. Производные тригонометрических функций*

Теорема. Пусть ${\bf r}$ — вектор-функция, траектория которой — окружность. Тогда $\forall t$ из области определения ${\bf r}$ ${\bf r}(t)\bot{\bf r}^{\prime}(t)$ .

Доказательство.

1) Так как ${\bf r}^{\prime}(t)$ направлен по касательной к окружности, проходящей через конец вектора ${\bf r}(t)$ , то по теореме о радиусе, проведенном в точку касания, получаем, что ${\bf r}(t)\bot{\bf r}^{\prime}(t)$ .

2) (не используя то, что вектор ${\bf r}^{\prime}(t)$ направлен по касательной)

Пусть $R$ — радиус окружности, $|{\bf r}(t)|=R$ . Тогда

$\begin{array}{l} \forall t\ {\bf r}(t)\cdot{\bf r}(t)=R^2,\\[2mm] {\bf r}^{\prime}(t){\bf r}(t)+{\bf r}(t){\bf r}^{\prime}(t)=0,\\[2mm] 2{\bf r}^{\prime}(t){\bf r}(t)=0,\\[2mm] {\bf r}^{\prime}(t){\bf r}(t)=0,\\[2mm] {\bf r}(t)\bot{\bf r}^{\prime}(t) . \end{array}$

Теорема (вычисление производной синуса и косинуса).

$\forall t\ \begin{array}{l} \sin^{\prime} t=\cos t,\\[2mm] \cos^{\prime} t=-\sin t . \end{array}$

Доказательство. Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат. Будем считать, что ${\bf i}$ и ${\bf j}$ — декартов базис множества векторов на плоскости. Рассмотрим вектор-функцию

${\bf r}(t)={\bf i}\cos t+{\bf j}\sin t .$

$\forall t\ {\bf r}^{\prime}(t)=(\cos^{\prime}t,\sin^{\prime}t) .$

Так как ${\bf r}^{\prime}(t)\bot{\bf r}(t)$ , а $|{\bf r}^{\prime}(t)|=1$ (так как движемся с единичной скоростью) — ${\bf r}^{\prime}$ — вектор единичной длины, перпендикулярный данному. Тогда