10. Производные тригонометрических функций*

Теорема. Пусть {\bf r} – вектор-функция, траектория которой – окружность. Тогда \forall t из области определения {\bf r} {\bf r}(t)\bot{\bf r}^{\prime}(t).

Доказательство.

1) Так как {\bf r}^{\prime}(t) направлен по касательной к окружности, проходящей через конец вектора {\bf r}(t), то по теореме о радиусе, проведенном в точку касания, получаем, что {\bf r}(t)\bot{\bf r}^{\prime}(t).

2) (не используя то, что вектор {\bf r}^{\prime}(t) направлен по касательной)

Пусть R – радиус окружности, |{\bf r}(t)|=R. Тогда
\begin{array}{l}<br />
\forall t\ {\bf r}(t)\cdot{\bf r}(t)=R^2,\\[2mm]<br />
{\bf r}^{\prime}(t){\bf r}(t)+{\bf r}(t){\bf r}^{\prime}(t)=0,\\[2mm]<br />
2{\bf r}^{\prime}(t){\bf r}(t)=0,\\[2mm]<br />
{\bf r}^{\prime}(t){\bf r}(t)=0,\\[2mm]<br />
{\bf r}(t)\bot{\bf r}^{\prime}(t) .<br />
\end{array}

Теорема (вычисление производной синуса и косинуса).

\forall t\ \begin{array}{l}<br />
\sin^{\prime} t=\cos t,\\[2mm]<br />
\cos^{\prime} t=-\sin t .<br />
\end{array}

Доказательство. Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат. Будем считать, что {\bf i} и {\bf j} – декартов базис множества векторов на плоскости. Рассмотрим вектор-функцию

{\bf r}(t)={\bf i}\cos t+{\bf j}\sin t .

\forall t\ {\bf r}^{\prime}(t)=(\cos^{\prime}t,\sin^{\prime}t) .

Так как {\bf r}^{\prime}(t)\bot{\bf r}(t), а |{\bf r}^{\prime}(t)|=1 (так как движемся с единичной скоростью) – {\bf r}^{\prime} – вектор единичной длины, перпендикулярный данному. Тогда

\begin{array}{l}<br />
{\bf r}(t)=(\cos t,\sin t),\\[2mm]<br />
{\bf r}^{\prime}(t)=(-\sin t,\cos t) \vee {\bf r}^{\prime}(t)=(\sin t,-\cos t).<br />
\end{array}

Вектор {\bf r}^{\prime}(t) получается поворотом {\bf r}(t) на \pi/2. Тем самым, {\bf r}^{\prime}(t)={\bf r}(t+\pi/2) и

{\bf r}^{\prime}(t)=(\cos(t+\pi/2),\sin(t+\pi/2))=(-\sin t,\cos t) .

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение