1. Дифференциал и производная

Определение. Пусть функция f задана на множестве X, a\in X. Производная функции f в точке a есть

\displaystyle f’(a)=\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a)\over h}.

Определение. Пусть функция f задана на множестве X, a\in X. Производная функции f в точке a есть

\displaystyle f’(a)=\lim_{x\to a}{f(x)-f(a)\over x-a}.

Доказательство равносильности двух определений.
\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\forall (x_n):\ x_n\ne a,x_n\to a,x_n\in X\ {f(x_n)-f(a)\over x_n-a}\to f’(a),\\[4mm]<br />
\displaystyle<br />
\forall (h_n):\ h_n\ne 0,h_n\to 0,x_n\in X\ {f(a+h_n)-f(a)\over h_n}\to f’(a).<br />
\end{array}

Рассмотрим разность

\displaystyle\varphi(h)={f(a+h)-f(a)\over h}-f’(a).

Функция \varphi задана \forall h\ne0 и a+h\in X

f(a+h)-f(a)=f’(a)+\varphi(h)h,\ \displaystyle \lim_{h\to 0}\varphi(h)=0.

Если произвольным образом задать значение функции \varphi при h=0, то последнее равенство будет выполняться и при h=0.

Определение. Пусть f:X\to \mathbb{R}, a\in X. Функция f называется дифференцируемой в точке a, если существует такое число c и такая функция \varphi, что имеет место равенство

f(a+h)-f(a)=ch+\varphi(h)h,\ \displaystyle<br />
\forall h:\ a+h\in X\ \lim_{h\to0}\varphi(h)=0.

Функция, которая каждому числу h ставит в соответствие число ch, называется дифференциалом функции f в точке a.

Мы доказали, что если у функции f есть производная в точке a, то f дифференцируема в этой точке (за число c можно взять число f’(a)).

Докажем, что если функция f дифференцируема в точке a, то у нее есть производная в точке a.

f(a+h)-f(a)=ch+\varphi(h)h,

\displaystyle<br />
{f(a+h)-f(a)\over h}=c+\varphi(h),\<br />
\lim_{h\to0}{f(a+h)-f(a)\over h}=\lim_{h\to0}(c+\varphi(h))=c.<br />

Попутно мы доказали, что число c в правой части равенства определяется однозначно и равно f^{\prime}(a).

Обозначение. df(a) – дифференциал функции f в точке a.

Дифференциал – линейная функция приращения h:

df(a)(h)=f^{\prime}(a)h.

Пример. f(x)\equiv c,

\begin{array}{l@{}l@{}l}<br />
f(x+h)-f(x)=&0\cdot h+&0\cdot h,\\<br />
&f’(x)&\varphi(h),\\<br />
df(x)=0,&&\\<br />
f’(x)=0.&&<br />
\end{array}

Пример. f(x)=x,

\begin{array}{l@{}l@{}l}<br />
f(x+h)-f(x)=&1\cdot h+&0\cdot h,\\<br />
&f’(x)&\varphi(h),\\<br />
df(x)(h)=h,&&\\<br />
f’(x)=1.&&<br />
\end{array}

Пример. f(x)=x^3,

\begin{array}{r@{}l@{}l}<br />
f(x+h)-f(x)=(x+h)^3-x^3=&3x^2h+&(3xh+h^2)h,\\<br />
&f’(x)&\varphi(h),\\<br />
df(x)(h)=3x^2h,&&\\<br />
f’(x)=3x^2.&&<br />
\end{array}

dx — обозначение дифференциала тождественной функции

df(x)(dx)=f^{\prime}(x)dx,

\fbox{$df(x)=f^{\prime}(x)dx$}

Обозначения. \displaystyle f^{\prime}(x)={df(x)\over dx}={df\over dx}(a),\ f’(a)=\left.{df\over dx}\right|_{x=a}.

Задачи. 1) Вычислите приращения \varphi(h)=f(x_0+h)-f(x_0) для данных функций y=f(x) и данной точки x_0=1, постройте соответствующие графики функций y=\varphi(h), постройте графики функций \displaystyle \psi(h)=\frac{\varphi(h)}{h}, найдите \displaystyle \lim_{h\to0}\psi(h), если он существует.

а) f(x)=2x+3;

б) f(x)=x^2-2x;

в) \displaystyle f(x)=\frac{1}{x};

г) f(x)=|x+1|.

2) Для данных функций y=f(x) и данной точки x_0=-1 вычислите производную

\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{x\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} ,

составьте выражение

\tau(h)=f(x_0+h)-f(x_0)-f^{\prime}(x_0)h

и докажите, что \displaystyle\lim_{h\to0}\tau(h)=0, найдите \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\tau(h)}{h}.

а) f(x)=3x-1;

б) \displaystyle f(x)=\frac{1}{x+2}.

3) Выясните, для каких из данных функций y=f(x) найдется такое число k, что при всех h функция \varphi(h)=f(x_0+h)-f(x_0) (при x_0=1) может быть представлена в виде \varphi(h)=kh+\tau(h), где

а) \displaystyle \lim_{h\to0}\tau(h)=0, б) \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\tau(h)}{h}=0.

1. f(x)=5x-1;

2. f(x)=x^2-6x+3;

3.

f(x)=\left\{\begin{array}{l}<br />
2x,\ x\ge1,\\<br />
x+1,\ x<1.<br />
\end{array}\right.

4) Найдите дифференциал функции f(x)=\sqrt[3]{x} и с его помощью приближенно вычислите значение данной функции в точке x_1=9.

5) Приведите примеры функций, имеющих производные везде, кроме: а) одной точки; б) двух точек; в) трех точек; г) целых чисел.

6) Выясните, имеют ли данные функции производную в точке x_0=0:

а)

f(x)=\left\{\begin{array}{l}<br />
\displaystyle x\sin\frac{1}{x},\ x\ne0,\\[4mm]<br />
0,\ x=0.<br />
\end{array}\right.

б)

f(x)=\left\{\begin{array}{l}<br />
x+1,\ x\ge0,\\<br />
x^2+1,\ x > 0.<br />
\end{array}\right.

7) Найдите все значения параметров a и b, такие, что функция

f(x)=\left\{\begin{array}{l}<br />
x,\ x\ge1,\\<br />
ax^2+bx,\ x <1<br />
\end{array}\right.
а) непрерывна в x_0=1;
б) дифференцируема в x_0=1.

8 ) Исследуйте функции на дифференцируемость

а) y=x|x|;
б) y=|\sin x|;
в)
f(x)=\left\{\begin{array}{l}<br />
x,\ x\in\mathbb{Q},\\<br />
0,\ x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.<br />
\end{array}\right.

Комментариев: 16

  1. 1 Понимание vs зубрежка | Математика, которая мне нравится:

    [...] уже изучили по математике и «выучили» (наизусть!), что производная в точке минимума функции равна нулю, а это значит, что [...]

  2. 2 Основы математического анализа | Математика, которая мне нравится:

    [...] хорошей математики, и Колин Маклорен хотел изложить дифференциальное исчисление таким же образом. В 1742 году он ответил Беркли своим [...]

  3. 3 zbl:

    > Мы доказали, что если у функции f есть производная в точке a, то f дифференцируема в этой точке (за число c можно взять число f’(a)).

    Это не правда, потому что по данному выше определению производной она существует и тогда, когда её значение бесконечно (бесконечный предел существует, хотя он и бесконечный), а функция дифференцируема только, если имеет конечную производную.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Да и само определение дифференцируемой функции не сможет понять школьник. Я хорошо помню себя в школе, поэтому говорю определённо: я в том возрасте это определение не понимал. Дело в том, что у школьника в голове нет образа для произвольной функции \phi(x). Он это не воспринимает. О чём идёт тут речь он понять не сможет в принципе. Ну, и почему не сказать просто, что дифференцируемой функцией называется такая, что имеет конечную производную? Зачем сочинять непонятное определение, а потом выводить из него это как следствие? Чего именно этим хотят добиться? Я думаю, что именно того, чтобы вывести понятное школьнику из непонятного для него, чтобы создать впечатление научности. У меня вот такое впечатление складывается от подобных определений.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Дифференциал нужен в физике, в механике. Он нужен и при интегрировании. Поэтому просто говорить, думаю, не стоит.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Дифференциал в физике не имеет решительно ничего общего с данным тут определением. Здесь определено некоторое линейное отображение. Зачем его потребовалось определённым товаришьчьиям называть занятым уже испокон веку термином с совершенно иным смыслом — это другой вопрос и школьников это не касается. Если же нужно определить дифференциал понятным для них образом, то нужно сказать, что по определению df=f’dx, где dx условно обозначает любое сколь угодно малое приращение аргумента. Вот и всё. И график, который у Лейбница был нарисован, нарисовать бы не плохо было и тут. Как-то иначе дети понять, что такое дифференциал всё равно не смогут.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Геометрический смысл дифференциала в следующем параграфе: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-11-klass/2-geometricheskij-smysl-differenciala-i-proizvodnoj-svyaz-differenciruemosti-i-nepreryvnosti/

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Хотелось бы иметь ссылку на следующую страницу, а то, листая подряд, приходится возвращаться к содержанию. Хотя… буржуазная роскошь.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    К сожалению, не могу сделать это, хотя честно пыталась… Не умею.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Число (f^{\prime}(a)) не может быть бесконечным.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Зато производная может. Одного слова всё равно не хватает: “Мы доказали, что, если у функции f есть _конечная_ производная в точке a, то f дифференцируема в этой точке (за число c можно взять f’(a))”.

    [Ответить]

  4. 4 zbl:

    dx — это не обозначение дифференциала тождественной функции, а обозначение дифференциала независимой переменной.
    Без понятия переменной и постоянной величин определить корректно дифференциал не удастся: второй дифференциал выпадает из такого определения дифференциала как линейного отображения.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Вряд ли кто-то поймёт теперь сказанное выше про дифференциал. Нужно набить очень много текста, чтобы объяснить, в чём тут дело. И в тексте будет сквозить печаль… Коротенько, дело в следующем. До 30-х годов 20-го века матанализ формулировался не так, как сейчас нас ему учат. И то, что нам повсеместно преподают — это лишь очень и очень урезанная версия матанализа. Проблема тут в том, что матанализ невозможно сформулировать на навязанном нам языке теории множеств: он шире этого языка, понятие величины шире понятия множества, понятие функции шире понятия отображения. Это было показано Робинсоном в 1961 году (он просто сформулировал анализ бесконечно малых на современном формальном языке). Результат такого убогого урезанного изложения только в том, что все яснейшие и естественнейшие определения стали ужасными глупыми задом-на-перёд-совсем-наоборот бессмыслицами, которые психически здоровому человеку невозможно понять, а разве только зазубрить.

    [Ответить]

  5. 5 zbl:

    Эти два определения производной понятно, зачем нужны: чтобы выцарапать выражение для главной части функции. Тут уж я таких извратов и не помню на своём веку. Неужели удаётся как-то спрятать от учащихся, что h и x-a — это одно и то же и различие двух определений — фикция? Так отбросьте лишнее определение дифференцируемости и дифференциала, и всё встанет на свои места: производная — предел отношения приращений, дифференцируемые те, что имеют конечную производную, дифференциал дифференцируемой функции — это f’dx. Всё просто и прозрачно.

    [Ответить]

  6. 6 роткив:

    если смотреть на математику с позиции физических действий,как основа проявления в синтезе и дальнейших построений,и их балансирующих соотношений между собой по переходам,то в математику заложена основа функциональность сторон,но на этом она затормозилась и не имеет продолжения,и выглядит дискретно, материально, фиксировано и отражает лишь поверхность на всех уровнях интерпретации процесса. а так как базовые основы всё-таки мутные и непонятные в определении,то математика сидит на этом физическом уровне и не имеет развитие,и всё новое, это только комбинации с привлечением обычных производных. реально в общем к применению её к точкам возникновения и эволюции в базе,то математика здесь довольно необычная по внутренней динамике развития и очень сложная в соотношениях определения к пространственным асимметрии. не судите строго двоичника.шутка.

    [Ответить]

  7. 7 роткив:

    вы знаете, чем определяется энтропия,да и вообще, как её трактует современная наука с точки зрения возникшего состояния в пространственных переходах,то в ней можно изобретать то,что захочешь,она в интерпретации свободна и гуляющая,но она в базовой основе, никогда не выйдет из функционально связанного физического действия. точность этого действия,то есть его понимания в разложении по движению и доминирующих направлений в нём,определяют построения взаимосвязанного с главным доменом это эволюционной цикличности самой Вселенной. то есть вы находитесь в данной нише Вселенной,где в преобразовании,решения из позиции взаимосвязи, определяете себе механическую свободу,но она предельна до рамок выхода из энтропии. поэтому математика должна в отражении структуры связей и соотношений,соответствовать данным уровням,а не подстраивать её дальше,потому что здесь присутствуют элементы роста и распада,и в каких зарождающихся форматах сохранения и эволюционных роста в показателях, и определяют этим саму математику,она слита на этих уровнях. вот принцип соответствия по отражениям процесса. математика абстрактна и безусловно прекрасна,и движет прикладную науку в практике и в эмпиризме. чтоб подвести итог умным разговорам,можно определить то,что для меня математика туманна в профессионализме,как для математика сама физика движений.шутка.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение