9. Модуль вещественного числа и его свойства

Определение. Модуль вещественного числа a — это само число a, если a\ge0, и противоположное число -a, если a <0.

|a|=\left\{ \begin{array}{ll}<br />
a,& a\ge0,\\<br />
-a,& a <0.<br />
\end{array}\right.

Свойства модуля

1. ||a|-|b||\le |a+b|\le|a|+|b|,

|a+b|=|a|+|b|\Leftrightarrow ab\ge0.

2. |ab|=|a|\cdot|b|.

3. |a-b| — это расстояние между точками a и b на числовой оси.

Доказательство.

1. Докажем сначала, что |a+b|\le|a|+|b|.

Рассмотрим несколько случаев (в этих случаях по-разному раскрываются модули):

\begin{array}{l}<br />
a,b\ge0,\\<br />
|a+b|=a+b\quad |a|+|b|=a+b,\\<br />
|a+b|\le|a|+|b|,\\<br />
a,b<0,\\<br />
|a+b|=-a-b\quad |a|+|b|=-a-b,\\<br />
|a+b|\le|a|+|b|,\\<br />
a\ge0,b<0,a+b>0,\\<br />
|a+b|=a+b\quad |a|+|b|=a-b,\\<br />
a+b<a-b,\\<br />
|a+b|\le|a|+|b|,\\<br />
a\ge0,b<0,a+b<0,\\<br />
|a+b|=-a-b\quad |a|+|b|=a-b,\\<br />
-a-b<a-b,\\<br />
|a+b|\le|a|+|b|.<br />
\end{array}

Левая часть неравенства получается, если в доказанном неравенстве заменить a на a+b, b — на -b, а затем a — на a+b, а b — на -a.

2.

\begin{array}{l}<br />
|ab|=|a|\cdot|b|,\\<br />
a,b\ge0,\\<br />
|ab|=ab\quad |a|\cdot|b|=ab\Rightarrow |ab|=|a|\cdot|b|,\\<br />
a,b<0,\\<br />
|ab|=(-a)\cdot(-b)=ab\quad |a|\cdot|b|=(-a)\cdot(-b)=ab,\\<br />
a\ge0,b<0,\\<br />
|ab|=a(-b)=-ab\quad |a|\cdot|b|=a(-b)=-ab,\\<br />
|ab|=|a|\cdot|b|.<br />
\end{array}

Комментариев: 3

  1. 1 Анастасия:

    Спасибо! – Просто и доступно!

    [Ответить]

  2. 2 A_S:

    Скажите, пожалуйста, а почему в первом доказательстве не надо рассматривать, когда a меньше 0 и b больше или равно 0 (два случая: когда их сумма сначала больше 0, а потом меньше 0)?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Сумма a+b симметрична относительно a и b, поэтому тот случай, о котором Вы написали – это то же самое, что и b<0,a\ge0, и те же два случая.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение