9. Модуль вещественного числа и его свойства

Определение. Модуль вещественного числа a — это само число a, если a\ge0, и противоположное число - a, если a <0.

    \[|a|=\left\{ \begin{array}{ll} a,& a\ge0,\\ -a,& a <0. \end{array}\right.\]

Свойства модуля

1. ||a|-|b||\le |a+b|\le|a|+|b|,

|a+b|=|a|+|b|\Leftrightarrow ab\ge0.

2. |ab|=|a|\cdot|b|.

3. |a-b| — это расстояние между точками a и b на числовой оси.

Доказательство.

1. Докажем сначала, что |a+b|\le|a|+|b|.

Рассмотрим несколько случаев (в этих случаях по-разному раскрываются модули):

    \[\begin{array}{l} a,b\ge0,\\ |a+b|=a+b\quad |a|+|b|=a+b,\\ |a+b|\le|a|+|b|,\\ a,b<0,\\ |a+b|=-a-b\quad |a|+|b|=-a-b,\\ |a+b|\le|a|+|b|,\\ a\ge0,b<0,a+b>0,\\ |a+b|=a+b\quad |a|+|b|=a-b,\\ a+b<a-b,\\ |a+b|\le|a|+|b|,\\ a\ge0,b<0,a+b<0,\\ |a+b|=-a-b\quad |a|+|b|=a-b,\\ -a-b<a-b,\\ |a+b|\le|a|+|b|. \end{array}\]

Левая часть неравенства получается, если в доказанном неравенстве заменить a на a+b, b — на -b, а затем a — на a+b, а b — на -a.

2.

    \[\begin{array}{l} |ab|=|a|\cdot|b|,\\ a,b\ge0,\\ |ab|=ab\quad |a|\cdot|b|=ab\Rightarrow |ab|=|a|\cdot|b|,\\ a,b<0,\\ |ab|=(-a)\cdot(-b)=ab\quad |a|\cdot|b|=(-a)\cdot(-b)=ab,\\ a\ge0,b<0,\\ |ab|=a(-b)=-ab\quad |a|\cdot|b|=a(-b)=-ab,\\ |ab|=|a|\cdot|b|. \end{array}\]

Комментариев: 5

  1. 1 Анастасия:

    Спасибо! – Просто и доступно!

    [Ответить]

  2. 2 A_S:

    Скажите, пожалуйста, а почему в первом доказательстве не надо рассматривать, когда a меньше 0 и b больше или равно 0 (два случая: когда их сумма сначала больше 0, а потом меньше 0)?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Сумма

        \[a+b\]

    симметрична относительно

        \[a\]

    и

        \[b\]

    , поэтому тот случай, о котором Вы написали – это то же самое, что и

        \[b<0,a\ge0\]

    , и те же два случая.

    [Ответить]

  3. 3 Сергей:

    Хорошие доказательства. Все последовательно.

    [Ответить]

  4. 4 Сергей:

    После доказательства |a+b|<=|a|+|b| нужно добавить, что |a-b|<=|a|+|b|, т.к |a-b|=|a+(-b)|<=|a|+|-b|=|a|+|b|

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение