8. Несколько полезных неравенств

1. a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac.

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} \displaystyle a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac={1\over 2}(2a^2+2b^2+2c^2 -2ab-2ac-2bc)=\\[3mm] \displaystyle ={1\over 2}[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2) +(b^2-2bc+c^2)]=\\[3mm] \displaystyle ={1\over 2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]\ge0. \end{array}\]

2. \displaystyle a,b>0\Rightarrow {a+b\over 2}\ge\sqrt{ab}.

Доказательство.

    \[\displaystyle {a+b\over 2}-\sqrt{ab}={a+b-2\sqrt{ab}\over 2}={(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\over 2}\ge0 .\]

3. \displaystyle a,b,c,d>0\Rightarrow {a+b+c+d\over 4}\ge\sqrt[4]{abcd}.

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} \displaystyle {a+b+c+d\over 4}={{a+b\over 2}+{c+d\over 2}\over 2}\ge{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\over 2}\ge\\[3mm] \ge\sqrt{\sqrt{ab}\cdot\sqrt{cd}}=\sqrt[4]{abcd}. \end{array}\]

4. \displaystyle a,b,c>0\Rightarrow {a+b+c\over 3}\ge\sqrt[3]{abc}.

Доказательство. Положим

    \[\displaystyle m={a+b+c\over 3} .\]

Тогда

    \[\begin{array}{l} \displaystyle m={a+b+c+m\over 4}\ge\sqrt[4]{abcm},\\[2mm] m^4\ge abcm,\\ m^3\ge abc,\\ m\ge\sqrt[3]{abc}. \end{array}\]

Примеры. Доказать

1. a^4+b^4+c^4\ge abc(a+b+c).

    \[\begin{array}{l} a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge ab\cdot bc+ab\cdot ac+ ac\cdot bc=abc(a+b+c). \end{array}\]

2. a,b,c\ge0\Rightarrow (a+b)(a+c)(b+c)\ge8abc.

    \[\left.\begin{array}{l} a+b\ge2\sqrt{ab},\\ b+c\ge2\sqrt{bc},\\ a+c\ge2\sqrt{ac}, \end{array}\right|\Rightarrow (a+b)(a+c)(b+c)\ge8abc.\]

3. \displaystyle a,b,c>0\Rightarrow(a+b+c)\left({1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\right)\ge9.

    \[\begin{array}{l} a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc},\\ \displaystyle {1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\ge3\sqrt[3]{{1\over a}\cdot{1\over b}\cdot{1\over c}},\\[3mm] \displaystyle (a+b+c)\left({1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\right)\ge9. \end{array}\]

Задачи.

Докажите неравенства:

1. a_1,a_2,\dots,a_n\ge0,a_1a_2\dots a_n=1

    \[(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)\ge2^n.\]

2. a,b,c\ge0\Rightarrow ab+ac+bc\ge a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}.

3. a,b,c\ge0\Rightarrow a^{16}+b^{16}+c^{16}\ge a^5b^5c^5(a+b+c).

4. a^4+b^4+2c^4\ge4abc^2.

5^{*}. x,y,z\ge0,x+y+z=1\Rightarrow

    \[\displaystyle \left(1+{1\over x}\right)\left(1+{1\over y}\right)\left(1+{1\over z}\right)\ge64 .\]

6. \displaystyle {a^3+b^3\over 2}\ge\left({a+b\over 2}\right)^3\ (a,b>0).

7. \sqrt[n]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[n]{2-\sqrt{3}}>2.

8. Докажите, что если для уравнения x^2+px+q=0 дискриминант {\cal D} неотрицателен, то это же верно и для уравнения

    \[x^2+(p^2+pq)x+p^3q+p^2q+q^3-2pq^2=0.\]

9. Пусть p_1p_2=2(q_1+q_2). Докажите, что по крайней мере одно из уравнений

    \[x^2+p_1x+q_1=0,\qquad x^2+p_2x+q_2=0\]

имеет неотрицательный дискриминант.

10. Докажите, что

а) при любом значении \lambda\ne-1 дискриминант {\cal D} уравнения

    \[(x-a)(x-c)+\lambda(x-b)(x-d)=0,\]

где a<b<c<d, положителен.

б) при любых значениях a,b,c,d дискриминант уравнения

    \[(x-a)(x-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c)=0\]

неотрицателен.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение