8. Несколько полезных неравенств

1. a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac.

Доказательство.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac={1\over 2}(2a^2+2b^2+2c^2<br />
-2ab-2ac-2bc)=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
={1\over 2}[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)<br />
+(b^2-2bc+c^2)]=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
={1\over 2}[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]\ge0.<br />
\end{array}

2. \displaystyle a,b>0\Rightarrow {a+b\over 2}\ge\sqrt{ab}.

Доказательство.

\displaystyle {a+b\over 2}-\sqrt{ab}={a+b-2\sqrt{ab}\over<br />
2}={(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\over 2}\ge0 .

3. \displaystyle a,b,c,d>0\Rightarrow {a+b+c+d\over 4}\ge\sqrt[4]{abcd}.

Доказательство.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
{a+b+c+d\over 4}={{a+b\over 2}+{c+d\over 2}\over<br />
2}\ge{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\over 2}\ge\\[3mm]<br />
\ge\sqrt{\sqrt{ab}\cdot\sqrt{cd}}=\sqrt[4]{abcd}.<br />
\end{array}

4. \displaystyle a,b,c>0\Rightarrow {a+b+c\over 3}\ge\sqrt[3]{abc}.

Доказательство. Положим

\displaystyle m={a+b+c\over 3} .

Тогда
\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
m={a+b+c+m\over 4}\ge\sqrt[4]{abcm},\\[2mm]<br />
m^4\ge abcm,\\<br />
m^3\ge abc,\\<br />
m\ge\sqrt[3]{abc}.<br />
\end{array}

Примеры. Доказать

1. a^4+b^4+c^4\ge abc(a+b+c).

\begin{array}{l}<br />
a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge ab\cdot bc+ab\cdot ac+ ac\cdot bc=abc(a+b+c).<br />
\end{array}

2. a,b,c\ge0\Rightarrow (a+b)(a+c)(b+c)\ge8abc.

\left.\begin{array}{l}<br />
a+b\ge2\sqrt{ab},\\<br />
b+c\ge2\sqrt{bc},\\<br />
a+c\ge2\sqrt{ac},<br />
\end{array}\right|\Rightarrow (a+b)(a+c)(b+c)\ge8abc.

3. \displaystyle a,b,c>0\Rightarrow(a+b+c)\left({1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\right)\ge9.

\begin{array}{l}<br />
a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc},\\<br />
\displaystyle {1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\ge3\sqrt[3]{{1\over a}\cdot{1\over b}\cdot{1\over c}},\\[3mm]<br />
\displaystyle (a+b+c)\left({1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\right)\ge9.<br />
\end{array}

Задачи.

Докажите неравенства:

1. a_1,a_2,\dots,a_n\ge0,a_1a_2\dots a_n=1

(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)\ge2^n.

2. a,b,c\ge0\Rightarrow ab+ac+bc\ge a\sqrt{bc}+b\sqrt{ac}+c\sqrt{ab}.

3. a,b,c\ge0\Rightarrow a^{16}+b^{16}+c^{16}\ge a^5b^5c^5(a+b+c).

4. a^4+b^4+2c^4\ge4abc^2.

5^{*}. x,y,z\ge0,x+y+z=1\Rightarrow

\displaystyle \left(1+{1\over x}\right)\left(1+{1\over y}\right)\left(1+{1\over z}\right)\ge64 .

6. \displaystyle {a^3+b^3\over 2}\ge\left({a+b\over 2}\right)^3\ (a,b>0).

7. \sqrt[n]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[n]{2-\sqrt{3}}>2.

8. Докажите, что если для уравнения x^2+px+q=0 дискриминант {\cal D} неотрицателен, то это же верно и для уравнения

x^2+(p^2+pq)x+p^3q+p^2q+q^3-2pq^2=0.

9. Пусть p_1p_2=2(q_1+q_2). Докажите, что по крайней мере одно из уравнений

x^2+p_1x+q_1=0,\qquad x^2+p_2x+q_2=0

имеет неотрицательный дискриминант.

10. Докажите, что

а) при любом значении \lambda\ne-1 дискриминант {\cal D} уравнения

(x-a)(x-c)+\lambda(x-b)(x-d)=0,

где a<b<c<d, положителен.

б) при любых значениях a,b,c,d дискриминант уравнения

(x-a)(x-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c)=0

неотрицателен.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение