7. Свойства неравенств

Определение. a>b означает, что a-b — положительное число, a<b означает, что a-b — отрицательное число, a\ge b означает, что a>b или a=b.

Свойства неравенств

Свойства неравенств следуют из свойств вещественных чисел.

1. Для любых чисел a и b справедливо одно и только одно из следующих трех утверждений (трихотомия)

    \[a>b,a=b,a<b.\]

2. a положительно \Leftrightarrow a>0,

a отрицательно \Leftrightarrow a<0.

3. Транзитивность

    \[\left.\begin{array}{l} a>b\\ b>c \end{array}\right|\Rightarrow a>c.\]

4. a>b\Leftrightarrow b<a.

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} a>b\Rightarrow a-b>0\Rightarrow b-a<0\Rightarrow b<a,\\ b<a\Rightarrow b-a<0\Rightarrow a-b>0\Rightarrow a>b. \end{array}\]

5. a>b\Rightarrow a+c>b+c.

Доказательство. a>b\Rightarrow a-b>0\Rightarrow (a+c)-(b+c)>0\Rightarrow a+c>b+c.

6. a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d.

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} a>b\Rightarrow a-b>0,\\ c>d\Rightarrow c-d>0. \end{array}\]

Сложение положительных чисел

    \[(a-b)+(c-d)>0\Rightarrow a+c>b+d.\]

7. а) a>b,c>0\Rightarrow ac>bc,

б) a>b,c<0\Rightarrow ac<bc.

Доказательство. a>b\Rightarrow a-b>0. Пользуемся свойствами умножения положительных чисел.

Если c>0, то (a-b)c>0\Rightarrow ac-bc>0\Rightarrow ac>bc,

если c<0, то (a-b)c<0\Rightarrow ac-bc<0\Rightarrow ac<bc.

8. a>b\ge0,c>d\ge0\Rightarrow ac>bd.

Доказательство.

    \[\left.\begin{array}{l} a>b,c>0\Rightarrow ac>bc,\\ c>d,b\ge0\Rightarrow bc\ge bd, \end{array}\right|\Rightarrow ac>bd.\]

Следствие. a>b\ge0,n\in\mathbb{N}\Rightarrow a^n>b^n.

Доказательство. Нужно перемножить неравенство a>b n раз.

9. \displaystyle a>b,a,b>0\Rightarrow {1\over a}<{1\over b}.

Доказательство.

    \[\left.\begin{array}{l} \displaystyle {1\over a}-{1\over b}={b-a\over ab},\\[3mm] b-a<0,\ ( a>b),\\ ab>0 \end{array}\right|\Rightarrow {b-a\over ab}<0\Rightarrow {1\over a}<{1\over b}.\]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение