6. Свойства множества вещественных чисел

1. Вещественные числа можно складывать, и при этом выполняются следующие законы:

    \[\alpha+\beta=\beta+\alpha\]

  (коммутативный),

    \[(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\]

(ассоциативный),

    \[\exists\ 0:\ \alpha+0=0\]

(существование нуля),

    \[\exists\ (-\alpha):\ \alpha+(-\alpha)=0\]

(существование противоположного элемента.

Определение. Определим разность вещественных чисел \alpha и \beta следующим образом:

    \[\alpha-\beta=\alpha+(-\beta).\]

2. Вещественные числа можно перемножать, и при этом выполняются следующие законы:

\alpha\beta=\beta\alpha  (коммутативный),

(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma) (ассоциативный),

\exists\ 1:\ \alpha\cdot1=\alpha (существование единицы),

\forall\alpha\ne0\ \exists обратное число \displaystyle {1\over\alpha}:\ \alpha\cdot{1\over\alpha}=1 (существование обратного элемента).

Определение. Если \beta\ne0, то определим частное чисел \alpha и \beta следующим образом:

    \[\alpha:\beta=\alpha\cdot{1\over \beta}.\]

Выполняется дистрибутивный закон (для сложения и умножения)

    \[\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma.\]

    \[1\ne0.\]

3. Каждое вещественное число, отличное от нуля, либо положительно, либо отрицательно. При этом сумма и произведение положительных чисел — положительное числа. Если \alpha — положительное число, то (-\alpha) — отрицательное, а если \alpha — отрицательное число, то (-\alpha) — положительное.

4. Каждое вещественное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, и при этом каждая бесконечная десятичная дробь является записью некоторого вещественного числа. Разные вещественные числа имеют разные десятичные записи.

Пример. Пусть \alpha и \beta — отрицательные числа. Доказать, что их произведение \alpha\beta — положительное число.

Доказательство. Так как \alpha — отрицательное число, то -\alpha — число положительное. Число (-\alpha)\beta — число, противоположное числу \alpha\beta, поскольку

    \[(-\alpha)\beta+\alpha\beta=((-\alpha)+\alpha)\beta=0\cdot\beta=0.\]

Аналогично, число (-\alpha)(-\beta) противоположно числу (-\alpha)\beta. Так как (-\alpha)(-\beta) положительное число, то число (-\alpha)\beta отрицательное, и \alpha\beta — положительное число.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение