Десятичная запись рационального числа | Математика, которая мне нравится

5. Десятичная запись рационального числа

Пусть $\displaystyle\alpha={m\over n}$ , где $m,n\in\mathbb{N}$ .

Тогда $\displaystyle\alpha_1={10m\over n}-c_1={10m-c_1n\over n}={m_1\over n}$ .

Так как $\alpha_1<1$ , то $\alpha_1$ — правильная дробь со знаменателем $n$ . По той же причине $\alpha_2,\alpha_3,\ldots$ — правильные дроби со знаменателем $n$ . Правильных дробей с данным знаменателем конечное число, следовательно, найдутся такие $k$ и $l$ $(k\ne l)$ , что $\alpha_k=\alpha_l$ . Тогда

$\begin{array}{l} c_{k+1}=c_{l+1},\\ \alpha_{k+1}=\alpha_{l+1},\\ c_{k+2}=c_{l+2},\\ \ldots, \end{array}$

то есть начиная с некоторого места цифры десятичной записи числа $\alpha$ начнут повторяться. Таким образом, рациональное число записывается бесконечной периодической десятичной дробью.

Пример. $\displaystyle\alpha={17\over 35}$ .

$\begin{tabular}{r@{}l|l} &170&35\\[-2mm] $-$&&\\[-3mm] \cline{3--3} &140&0,4(857142)\\ \cline{2--2} \end{tabular}\\ \mbox{\hskip0.2cm}\begin{tabular}{r@{}l} &300\\[-3mm] $-$&\\[-3mm] &280\\ \cline{2--2} \end{tabular}\\ \mbox{\hskip0.4cm}\begin{tabular}{r@{}l} &200\\[-3mm] $-$&\\[-3mm] &175\\ \cline{2--2} \end{tabular}\\ \mbox{\hskip0.6cm}\begin{tabular}{r@{}l@{}l} &250&\ \\[-3mm] $-$&&\\[-3mm] &245& \\ \cline{2--3} \end{tabular}\\ \mbox{\hskip1cm}\begin{tabular}{r@{}l@{}l} &50&\ \\[-3mm] $-$&&\\[-3mm] &35& \\ \cline{2--3} \end{tabular}\\ \mbox{\hskip1cm}\begin{tabular}{r@{}l@{}l} &150&\ \\[-3mm] $-$&&\\[-3mm] &140& \\ \cline{2--3} \end{tabular}\\ \mbox{\hskip1.2cm}\begin{tabular}{r@{}r} &100\\[-3mm] $-$&\\[-3mm] &70\\ \cline{2--2} &30 \end{tabular}$