5. Десятичная запись рационального числа

Пусть \displaystyle\alpha={m\over n}, где m,n\in\mathbb{N}.

Тогда \displaystyle\alpha_1={10m\over n}-c_1={10m-c_1n\over n}={m_1\over n}.

Так как \alpha_1<1, то \alpha_1 — правильная дробь со знаменателем n. По той же причине \alpha_2,\alpha_3,\dots — правильные дроби со знаменателем n. Правильных дробей с данным знаменателем конечное число, следовательно, найдутся такие k и l (k\ne l), что \alpha_k=\alpha_l. Тогда

    \[\begin{array}{l} c_{k+1}=c_{l+1},\\ \alpha_{k+1}=\alpha_{l+1},\\ c_{k+2}=c_{l+2},\\ \ldots, \end{array}\]

то есть начиная с некоторого места цифры десятичной записи числа \alpha начнут повторяться. Таким образом, рациональное число записывается бесконечной периодической десятичной дробью.

Пример. \displaystyle\alpha={17\over 35}.

    \[\begin{tabular}{r@{}l|l} &170&35\\[-2mm] $-$&&\\[-3mm] \cline{3--3} &140&0,4(857142)\\ \cline{2--2} \end{tabular}\\ \mbox{\hskip0.2cm}\begin{tabular}{r@{}l} &300\\[-3mm] $-$&\\[-3mm] &280\\ \cline{2--2} \end{tabular}\\ \mbox{\hskip0.4cm}\begin{tabular}{r@{}l} &200\\[-3mm] $-$&\\[-3mm] &175\\ \cline{2--2} \end{tabular}\\ \mbox{\hskip0.6cm}\begin{tabular}{r@{}l@{}l} &250&\ \\[-3mm] $-$&&\\[-3mm] &245& \\ \cline{2--3} \end{tabular}\\ \mbox{\hskip1cm}\begin{tabular}{r@{}l@{}l} &50&\ \\[-3mm] $-$&&\\[-3mm] &35& \\ \cline{2--3} \end{tabular}\\ \mbox{\hskip1cm}\begin{tabular}{r@{}l@{}l} &150&\ \\[-3mm] $-$&&\\[-3mm] &140& \\ \cline{2--3} \end{tabular}\\ \mbox{\hskip1.2cm}\begin{tabular}{r@{}r} &100\\[-3mm] $-$&\\[-3mm] &70\\ \cline{2--2}  &30 \end{tabular}\]

Обратно: любая периодическая десятичная дробь является десятичной записью некоторого рационального числа.

Пример. \alpha=0{,}207(16).

    \[\begin{array}{l} 1000\alpha=207{,}(16),\\ 100000\alpha=20716,(16),\\ 99000\alpha=20509,\\ \displaystyle \alpha={20509\over 99000}. \end{array}\]

Задачи.

1. Представьте рациональное число \displaystyle\frac{19}{13} в виде периодической десятичной дроби.

2. Найдите рациональное число, десятичная запись которого имеет вид 0.345(876).

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение