5. Десятичная запись рационального числа

Пусть \displaystyle\alpha={m\over n}, где m,n\in\mathbb{N}.

Тогда \displaystyle\alpha_1={10m\over n}-c_1={10m-c_1n\over n}={m_1\over n}.

Так как \alpha_1<1, то \alpha_1 — правильная дробь со знаменателем n. По той же причине \alpha_2,\alpha_3,\dots — правильные дроби со знаменателем n. Правильных дробей с данным знаменателем конечное число, следовательно, найдутся такие k и l (k\ne l), что \alpha_k=\alpha_l. Тогда

\begin{array}{l}<br />
c_{k+1}=c_{l+1},\\<br />
\alpha_{k+1}=\alpha_{l+1},\\<br />
c_{k+2}=c_{l+2},\\<br />
\ldots,<br />
\end{array}

то есть начиная с некоторого места цифры десятичной записи числа \alpha начнут повторяться. Таким образом, рациональное число записывается бесконечной периодической десятичной дробью.

Пример. \displaystyle\alpha={17\over 35}.

\begin{tabular}{r@{}l|l}<br />
&170&35\\[-2mm]<br />
$-$&&\\[-3mm]<br />
\cline{3–3}<br />
&140&0,4(857142)\\<br />
\cline{2–2}<br />
\end{tabular}\\<br />
\mbox{\hskip0.2cm}\begin{tabular}{r@{}l}<br />
&300\\[-3mm]<br />
$-$&\\[-3mm]<br />
&280\\<br />
\cline{2–2}<br />
\end{tabular}\\<br />
\mbox{\hskip0.4cm}\begin{tabular}{r@{}l}<br />
&200\\[-3mm]<br />
$-$&\\[-3mm]<br />
&175\\<br />
\cline{2–2}<br />
\end{tabular}\\<br />
\mbox{\hskip0.6cm}\begin{tabular}{r@{}l@{}l}<br />
&250&\ \\[-3mm]<br />
$-$&&\\[-3mm]<br />
&245& \\<br />
\cline{2–3}<br />
\end{tabular}\\<br />
\mbox{\hskip1cm}\begin{tabular}{r@{}l@{}l}<br />
&50&\ \\[-3mm]<br />
$-$&&\\[-3mm]<br />
&35& \\<br />
\cline{2–3}<br />
\end{tabular}\\<br />
\mbox{\hskip1cm}\begin{tabular}{r@{}l@{}l}<br />
&150&\ \\[-3mm]<br />
$-$&&\\[-3mm]<br />
&140& \\<br />
\cline{2–3}<br />
\end{tabular}\\<br />
\mbox{\hskip1.2cm}\begin{tabular}{r@{}r}<br />
&100\\[-3mm]<br />
$-$&\\[-3mm]<br />
&70\\<br />
\cline{2–2}<br />
&30<br />
\end{tabular}

Обратно: любая периодическая десятичная дробь является десятичной записью некоторого рационального числа.

Пример. \alpha=0{,}207(16).

\begin{array}{l}<br />
1000\alpha=207{,}(16),\\<br />
100000\alpha=20716,(16),\\<br />
99000\alpha=20509,\\<br />
\displaystyle<br />
\alpha={20509\over 99000}.<br />
\end{array}

Задачи.

1. Представьте рациональное число \displaystyle\frac{19}{13} в виде периодической десятичной дроби.

2. Найдите рациональное число, десятичная запись которого имеет вид 0.345(876).

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение