43. Предел \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+{1\over x}\right)^x

Определение. Пусть (x_n) — произвольная числовая последовательность. Пусть задана строго возрастающая последовательность натуральных чисел n_1<n_2<n_3\ldots Рассмотрим последовательность x_{n_1},x_{n_2},x_{n_3}\ldots Эта последовательность называется подпоследовательностью последовательности (x_n).

Упражнения.

1. Пусть последовательность (x_n) имеет предел a. Докажите, что тогда и любая ее подпоследовательность (x_{n_k}) имеет тот же предел a.

2. Пусть последовательность (x_n) разбита на две подпоследовательности (y_n) и (z_n). Докажите, что если y_n\to a и z_n\to a, то и (x_n) сходится к a.

В частности, если последовательности (x_{2n}) и (x_{2n-1}) сходятся к a, то и последовательность x_n\to a.

Мы определяли число e как предел последовательности

    \[e=\lim_{n\to+\infty}\left(1+{1\over n}\right)^n.\]

Теперь докажем более общий результат:

    \[e=\lim_{x\to\infty}\left(1+{1\over x}\right)^x.\]

По упражнению,  имеет место и равенство

    \[e=\lim_{n_k\to\infty}\left(1+{1\over n_k}\right)^{n_k} ,\]

если n_k — произвольная последовательность натуральных чисел, растущих вместе с номером k до бесконечности.

Пусть теперь x пробегает какую-нибудь последовательность (x_k) значений, стремящихся к +\infty; можно считать также, что все x_k>1. Положим n_k=[x_k], так что

    \[n_k\le x_k<n_k+1,\ n_k\to+\infty.\]

Так как при этом

    \[{1\over n_k+1}<{1\over x_k}\le{1\over n_k},\]

то

    \[\left(1+{1\over n_k+1}\right)^{n_k}<\left(1+{1\over x_k}\right)^{x_k}<\left(1+{1\over n_k}\right)^{n_k+1}.\]

Два крайних выражения могут быть преобразованы так:

    \[\begin{array}{l} \displaystyle \left(1+{1\over n_k+1}\right)^{n_k}={\displaystyle\left(1+{1\over n_k+1}\right)^{n_k+1}\over \displaystyle 1+{1\over n_k+1}},\\[5mm] \displaystyle \left(1+{1\over n_k}\right)^{n_k+1}=\left(1+{1\over n_k}\right)^{n_k}\cdot\left(1+{1\over n_k}\right), \end{array}\]

причем, в силу того, что

    \[e=\lim_{n_k\to\infty}\left(1+{1\over n_k}\right)^{n_k} ,\]

    \[\left(1+{1\over n_k}\right)^{n_k}\to e,\ \left(1+{1\over n_k+1}\right)^{n_k+1}\to e,\]

в то время как, очевидно,

    \[1+{1\over n_k}\to1,\ 1+{1\over n_k+1}\to1;\]

таким образом, оба выражения стремятся к общему пределу e, а тогда и заключенное между ними выражение также стремится к e (по теореме о сжатой последовательности). Это и доказывает наше утверждение.

Для доказательства же утверждения

    \[e=\lim_{x\to-\infty}\left(1+{1\over x}\right)^x\]

предположим теперь, что последовательность x_k имеет пределом -\infty (причем можно считать все x_k<-1). Если положить x_k=-y_k, тогда y_k\to+\infty (и все y_k>1). Очевидно,

    \[\begin{array}{l} \displaystyle \left(1+{1\over x_k}\right)^{x_k}=\left(1-{1\over y_k}\right)^{-y_k}=\left({y_k\over y_k-1}\right)^{y_k}=\\[3mm] \displaystyle =\left(1+{1\over y_k-1}\right)^{y_k-1}\cdot\left(1+{1\over y_k-1}\right). \end{array}\]

Так как, по доказанному, первый множитель последнего выражения стремится к e, второй же, очевидно, имеет пределом 1, то и выражение слева стремится к e. Формула доказана.

Заменим теперь в выражении \displaystyle \left(1+{1\over x}\right)^x переменную x на 1/\alpha; если придать \alpha последовательность положительных или отрицательных значений, стремящихся к нулю (но не равных нулю), то x=1/\alpha будет стремиться к \pm\infty. Поэтому доказываемые формулы можно переписать в виде

    \[e=\lim_{\alpha\to0}(1+\alpha)^{1\over \alpha}.\]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение