42. Существование показательных функций

Другое определение степени с вещественным показателем дано в конспекте математического анализа за 11 класс. Там же доказываются все свойства степени. Весь этот материал вполне доступен и в 10 классе, только определение степени нужно использовать то, что дано здесь.

Вспомним неравенство Бернулли

\gamma^n>1+n(\gamma-1)\quad n>1,n\in\mathbb{N},\gamma>1.

Положив здась \gamma=b^{1/n}\ (b>1), получим неравенство

\displaystyle b^{1/n}-1<{b-1\over n}.

Определение. Пусть a>0,a\ne1,x\in\mathbb{R}. Выберем последовательность x_n\to x,x_n\in\mathbb{Q}. \displaystyle \lim_{x_n\to x}a^{x_n} называется степенью числа a с показателем x.

Докажем единственность степени (корректность определения).

Предположим противное. Пусть существуют две последовательности x_n,y_n\to x, такие, что \forall n\ x_n,y_n\in\mathbb{Q}, a^{x_n}\to \alpha,\ a^{y_n}\to\beta,\alpha>\beta.

Поскольку при достаточно больших n разность x_n-y_n меньше 1/m,\ m\in\mathbb{N}, то, по неравенству

\displaystyle b^{1/n}-1<{b-1\over n}

имеем

\displaystyle a^{x_n}-a^{y_n}=a^{y_n}(a^{x_n-y_n}-1)<a^{y_n}(a^{1/m}-1)<a^{y_n}{a-1\over m}.

Так как \exists M:\ y_n<M, то выберем \displaystyle m>{a^M(a-1)\over \varepsilon} для любого \varepsilon>0. Тогда

a^{x_n}-a^{y_n}<\varepsilon .

Рассмотрим функцию f(x) вида f(x)=a^x, где a>0,a\ne1,x\in\mathbb{R}. Докажем, что эта функция является показательной функцией с основанием a.

1. Докажем строгую монотонность f(x) в случае a>1. Она следует из свойств степеней с рациональными показателями

\begin{array}{l}<br />
r_1,r_2\in\mathbb{Q},\ r_1>r_2,a>1\Longrightarrow a^{r_1}>a^{r_2},\\<br />
r_1,r_2\in\mathbb{Q},\ r_1>r_2,a<1\Longrightarrow a^{r_1}<a^{r_2}.<br />
\end{array}

а также теоремы о предельном переходе в неравенствах.

В самом деле, из теоремы о предельном переходе в неравенствах получаем, что f(x_1)\ge f(x_2) при x_1>x_2. Предположим, что выполняется равенство. Поскольку между любыми двумя иррациональными числами существует сколь угодно много рациональных чисел, то тогда для всех этих рациональных чисел значения в них функции f будут равны, что противоречит строгой монотонности f на множестве рациональных чисел.

Случай 0<a<1 рассматривается аналогично.

2. Свойство 2 из определения показательной функции легко следует из теоремы о пределе произведения.

Таким образом, осталось доказать, что f(1)=a. Но это очевидно.

Комментариев: 3

  1. 1 zbl:

    > Докажем единственность степени (корректность определения).

    То есть, если бы вдруг для иррационального x оказалось у a^x не одно значение, то определение бы было не “корректным” и даже бы такое a^x и не “существовало” бы вовсе? Но по такой логике тогда и комплексный логарифм не существует: он определён лишь с точностью до 2\pi n i. А монодромия тогда вообще — опаснейшая ересь.

    Определение некорректно, если не существует ни одного объекта, подходящего под это определение. В остальном же своя рука — владыка: если считаете это полезным, определяйте хоть чёрта лысого. Ценность определения целиком зависит только от его пользы для дела, а не от красоты или лаконичности.

    Такая манера подавать “корректность” и “существование” была бы безобидной, если бы она не шла потом гораздо дальше. Теперь уже “инвариантность” становится неким таким обязательным качеством, что “корректность” определения подразумевает его “инвариантность” и “бескоординатность”. Адепты такой “математики” берут предметную область, известную уже на протяжении веков, формулируют её основные понятия на костном языке, не соответствующем реальному объёму этой области, и начинают затем переводить на этот убогий язык классические результаты, выставляя это в качестве занятия наукой вообще и математикой в частности. Если бы они это делали только в своём кругу, то — полбеды, но они ж и учебники переписывают, нам это всё впаривая под видом “корректности”, “существования” и пущей “строгости”.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Здесь возникает такой вопрос: нужно ли в начальной школе говорить об интеграле, рассказывать о задачках с некорректным условием и с возможностью ответить на вопрос задачи по-разному (к примеру, как это делает Петерсон)? По-моему, всему свое время. И школьникам комплексный логарифм вовсе ни к чему. Потом, когда он появляется, как показала практика, никаких проблем не возникает. Разумеется, все это только мой личный опыт.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    10-й класс — это не начальная школа. В начальной школе нужно научить думать самостоятельно, но прежде, чем учиться думать самостоятельно, приходится сперва учиться думать с чужой помощью. Как и умение ходить, это у всех разного времени и сил на освоение требует. А с комплексным логарифмом как раз проблем и не возникает потому, что к тому времени учащийся уже перестаёт даже пытаться понять мотивировку определения, а просто его запоминает, старательно игнорируя многочисленные конфликты с ранее заученными фактами. Я прекрасно помню свои собственные недоумения по поводу определения x^{1/2}=\sqrt{x}: знак корня я теперь не должен использовать? нужно везде писать дробный показатель? Вот это и есть типичный уровень понимания, который даётся в нашей школе с незапамятных времён и по сей день. Человека старательно приучают, что нужно просто запомнить правило, не задумываясь о том, почему оно именно такое, а не какое-нибудь ещё. Да потому что оно “корректное” и другого варианта для него не “существует”.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение