41. Свойства непрерывных функций. Асимптоты
Лемма о вложенных промежутках. Пусть даны монотонно возрастающая последовательность и монотонно убывающая последовательность
, причем всегда
Если их разность стремится к нулю, то обе последовательности имеют конечный предел:
Доказательство. При всех значениях имеем
, а значит, ввиду того, что
, и
. Возрастающая последовательность
ограничена сверху, следовательно, она имеет конечный предел
.
Аналогично для последовательности будем иметь
так что и она имеет конечный предел .
Разность обоих пределов
по условию равна нулю, т.е. .
Теорема Больцано — Коши. Пусть функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке
и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда между
и
необходимо найдется такая точка
, в которой функция обращается в нуль.
Доказательство. Для определенности положим, что . Разделим промежуток
пополам точкой
. Если функция
обратится в нуль в этой точке, то теорема доказана. Пусть
. Тогда на концах одного из промежутков
,
функция будет принимать значения разных знаков (отрицательное на левом конце и положительное — на правом). Обозначив этот промежуток через
, имеем
Разделим пополам промежуток и снова отбросим тот случай, когда
обращается в нуль в середине
этого промежутка.
Обозначим через ту из половин промежутка, для которой
Продолжим процесс построения промежутков. При этом мы либо после конечного числа шагов получим точку, где функция обращается в нуль, — и доказательство теоремы завершится, — либо получим бесконечную последовательность вложенных один в другой промежутков. В этом случае для -го промежутка
будем иметь
причем длина его, очевидно, равна
Если в качестве последовательности возьмем последовательность
левых концов построенных отрезков, а в качестве последовательности
— последовательность
правых их концов, то по лемме о вложенных промежутках получим, что существует точка
, для которой
Покажем, что эта точка удовлетворяет требованиям теоремы.
Переходя к пределу в неравенствах и используя при этом непрерывность функции (в частности, в точке
), получим, что одновременно
так что, действительно, .
Асимптоты
Определение. Прямая называется наклонной асимптотой функции
при
, если
Аналогично определяется асимптота при .
Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой функции
, если существует какой-нибудь из односторонних пределов функции
в точке
, и он равен
или
.
Задачи.
1) Уравнение имеет три вещественных корня. Докажите, что существует такое положительное число
, что для любого числа
из промежутка
уравнение
имеет три вещественных корня.
2) Докажите, что следующее уравнение имеет корень:
3) Многоугольник и прямая
лежат в одной плоскости. Докажите, что существует прямая, параллельная
, которая разбивает
на два равновеликих многоугольника.
4) Пусть — непрерывная функция, заданная на отрезке
, все значения которой содержатся в отрезке
. Докажите, что уравнение
имеет корень.
1 Теорема о промежуточном значении в геометрических задачах | Математика, которая мне нравится:
[...] выше, следует из доказательства, приведенного здесь, если рассмотреть функцию [...]
5 Декабрь 2012, 0:05