Математика, которая мне нравится

Лемма о вложенных промежутках. Пусть даны монотонно возрастающая последовательность (x_n) и монотонно убывающая последовательность (y_n), причем всегда

Если их разность x_n-y_n стремится к нулю, то обе последовательности имеют конечный предел:

Доказательство. При всех значениях n имеем y_n\le y_1, а значит, ввиду того, что x_n<y_n, и x_n<y_1 (n=1,2,3,\ldots). Возрастающая последовательность (x_n) ограничена сверху, следовательно, она имеет конечный предел \displaystyle c=\lim_{n\to\infty}x_n.

Аналогично для последовательности (y_n) будем иметь

так что и она имеет конечный предел \displaystyle c ‘=\lim_{n\to\infty}y_n.

Разность обоих пределов

по условию равна нулю, т.е. c ‘=c.

Теорема Больцано — Коши. Пусть функция f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b] и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда между a и b необходимо найдется такая точка c, в которой функция обращается в нуль.

Доказательство. Для определенности положим, что f(a)<0,f(b)>0. Разделим промежуток [a,b] пополам точкой \displaystyle {a+b\over 2}. Если функция f(x) обратится в нуль в этой точке, то теорема доказана. Пусть \displaystyle f\left({a+b\over 2}\right)\ne0. Тогда на концах одного из промежутков \displaystyle \left[a,{a+b\over 2}\right], \displaystyle \left[{a+b\over 2},b\right] функция будет принимать значения разных знаков (отрицательное на левом конце и положительное — на правом). Обозначив этот промежуток через [a_1,b_1], имеем

Разделим пополам промежуток [a_1,b_1] и снова отбросим тот случай, когда f(x) обращается в нуль в середине \displaystyle {a_1+b_1\over 2} этого промежутка.

Обозначим через [a_2,b_2] ту из половин промежутка, для которой

Продолжим процесс построения промежутков. При этом мы либо после конечного числа шагов получим точку, где функция обращается в нуль, — и доказательство теоремы завершится, — либо получим бесконечную последовательность вложенных один в другой промежутков. В этом случае для n-го промежутка [a_n,b_n] (n=1,2,3,\ldots) будем иметь

причем длина его, очевидно, равна

Если в качестве последовательности (x_n) возьмем последовательность (a_n) левых концов построенных отрезков, а в качестве последовательности (y_n) — последовательность (b_n) правых их концов, то по лемме о вложенных промежутках получим, что существует точка c\in[a,b], для которой

Покажем, что эта точка удовлетворяет требованиям теоремы.

Переходя к пределу в неравенствах f(a_n)<0,f(b_n)>0, и используя при этом непрерывность функции (в частности, в точке x=c), получим, что одновременно

так что, действительно, f(c)=0.

Асимптоты

Определение. Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой функции f при x\to+\infty, если

Аналогично определяется асимптота при x\to-\infty.

Определение. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой функции f, если существует какой-нибудь из односторонних пределов функции f в точке a, и он равен +\infty или -\infty.

Задачи.

1) Уравнение x^3+ax+1=0 имеет три вещественных корня. Докажите, что существует такое положительное число \varepsilon, что для любого числа b из промежутка (a-\varepsilon, a+\varepsilon) уравнение x^3+bx+1=0 имеет три вещественных корня.

2) Докажите, что следующее уравнение имеет корень:

3) Многоугольник M и прямая l лежат в одной плоскости. Докажите, что существует прямая, параллельная l, которая разбивает M на два равновеликих многоугольника.

4) Пусть f — непрерывная функция, заданная на отрезке [0;1], все значения которой содержатся в отрезке [0;1]. Докажите, что уравнение f(x)=x имеет корень.