Свойства непрерывных функций. Асимптоты | Математика, которая мне нравится

41. Свойства непрерывных функций. Асимптоты

Лемма о вложенных промежутках. Пусть даны монотонно возрастающая последовательность $(x_n)$ и монотонно убывающая последовательность $(y_n)$ , причем всегда

$x_n<y_n .$

Если их разность $x_n-y_n$ стремится к нулю, то обе последовательности имеют конечный предел:

$c=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n .$

Доказательство. При всех значениях $n$ имеем $y_n\le y_1$ , а значит, ввиду того, что $x_n<y_n$ , и $x_n<y_1$ $(n=1,2,3,\ldots)$ . Возрастающая последовательность $(x_n)$ ограничена сверху, следовательно, она имеет конечный предел $\displaystyle c=\lim_{n\to\infty}x_n$ .

Аналогично для последовательности $(y_n)$ будем иметь

$y_n>x_n\ge x_1,$

так что и она имеет конечный предел $\displaystyle c '=\lim_{n\to\infty}y_n$ .

Разность обоих пределов

$c '-c=\lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)$

по условию равна нулю, т.е. $c '=c$ .

Теорема Больцано — Коши. Пусть функция $f(x)$ определена и непрерывна в замкнутом промежутке $[a,b]$ и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда между $a$ и $b$ необходимо найдется такая точка $c$ , в которой функция обращается в нуль.

Доказательство. Для определенности положим, что $f(a)<0,f(b)>0$ . Разделим промежуток $[a,b]$ пополам точкой $\displaystyle {a+b\over 2}$ . Если функция $f(x)$ обратится в нуль в этой точке, то теорема доказана. Пусть $\displaystyle f\left({a+b\over 2}\right)\ne0$ . Тогда на концах одного из промежутков $\displaystyle \left[a,{a+b\over 2}\right]$ , $\displaystyle \left[{a+b\over 2},b\right]$ функция будет принимать значения разных знаков (отрицательное на левом конце и положительное — на правом). Обозначив этот промежуток через $[a_1,b_1]$ , имеем

$f(a_1)<0,f(b_1)>0.$

Разделим пополам промежуток $[a_1,b_1]$ и снова отбросим тот случай, когда $f(x)$ обращается в нуль в середине $\displaystyle {a_1+b_1\over 2}$ этого промежутка.

Обозначим через $[a_2,b_2]$ ту из половин промежутка, для которой

$f(a_2)<0,f(b_2)>0.$

Продолжим процесс построения промежутков. При этом мы либо после конечного числа шагов получим точку, где функция обращается в нуль, — и доказательство теоремы завершится, — либо получим бесконечную последовательность вложенных один в другой промежутков. В этом случае для $n$ -го промежутка $[a_n,b_n]$ $(n=1,2,3,\ldots)$ будем иметь

$f(a_n)<0,f(b_n)>0,$

причем длина его, очевидно, равна

$b_n-a_n={b-a\over 2^n}.$

Если в качестве последовательности $(x_n)$ возьмем последовательность $(a_n)$ левых концов построенных отрезков, а в качестве последовательности $(y_n)$ — последовательность $(b_n)$ правых их концов, то по лемме о вложенных промежутках получим, что существует точка $c\in[a,b]$ , для которой

$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=c.$

Покажем, что эта точка удовлетворяет требованиям теоремы.

Переходя к пределу в неравенствах $f(a_n)<0,f(b_n)>0,$ и используя при этом непрерывность функции (в частности, в точке $x=c$ ), получим, что одновременно

$f(c)=\lim_{n\to\infty}f(a_n)\le0,\ f(c)=\lim_{n\to\infty}f(b_n)\ge0,$

так что, действительно, $f(c)=0$ .

Асимптоты

Определение. Прямая $y=ax+b$ называется наклонной асимптотой функции $f$ при $x\to+\infty$ , если

$\lim_{x\to+\infty}(f(x)-ax-b)=0.$

Аналогично определяется асимптота при $x\to-\infty$ .

Определение. Прямая $x=a$ называется вертикальной асимптотой функции $f$ , если существует какой-нибудь из односторонних пределов функции $f$ в точке $a$ , и он равен $+\infty$ или $-\infty$ .

Задачи.

1) Уравнение $x^3+ax+1=0$ имеет три вещественных корня. Докажите, что существует такое положительное число $\varepsilon$ , что для любого числа $b$ из промежутка $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ уравнение $x^3+bx+1=0$ имеет три вещественных корня.

2) Докажите, что следующее уравнение имеет корень:

${\rm arctg}^3x=2{\rm tg}\,x-1 .$

3) Многоугольник $M$ и прямая $l$ лежат в одной плоскости. Докажите, что существует прямая, параллельная $l$ , которая разбивает $M$ на два равновеликих многоугольника.

4) Пусть $f$ — непрерывная функция, заданная на отрезке $[0;1]$ , все значения которой содержатся в отрезке $[0;1]$ . Докажите, что уравнение $f(x)=x$ имеет корень.