Свойства непрерывных функций. Асимптоты | Математика, которая мне нравится

41. Свойства непрерывных функций. Асимптоты

Лемма о вложенных промежутках. Пусть даны монотонно возрастающая последовательность (x_n) и монотонно убывающая последовательность (y_n) , причем всегда

x_n<y_n .

Если их разность x_n-y_n стремится к нулю, то обе последовательности имеют конечный предел:

$\displaystyle c=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n .$

Доказательство. При всех значениях имеем $y_n\le y_1$ , а значит, ввиду того, что x_n<y_n , и x_n<y_1 $(n=1,2,3,\ldots)$ . Возрастающая последовательность (x_n) ограничена сверху, следовательно, она имеет конечный предел $\displaystyle c=\lim_{n\to\infty}x_n$ .

Аналогично для последовательности (y_n) будем иметь

$y_n>x_n\ge x_1,$

так что и она имеет конечный предел $\displaystyle c ‘=\lim_{n\to\infty}y_n$ .

Разность обоих пределов

$\displaystyle c ‘-c=\lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)$

по условию равна нулю, т.е. c ‘=c .

Теорема Больцано — Коши. Пусть функция f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b] и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда между и необходимо найдется такая точка , в которой функция обращается в нуль.

Доказательство. Для определенности положим, что f(a)<0,f(b)>0 . Разделим промежуток [a,b] пополам точкой $\displaystyle {a+b\over 2}$ . Если функция f(x) обратится в нуль в этой точке, то теорема доказана. Пусть $\displaystyle f\left({a+b\over 2}\right)\ne0$ . Тогда на концах одного из промежутков $\displaystyle \left[a,{a+b\over 2}\right]$ , $\displaystyle \left[{a+b\over 2},b\right]$ функция будет принимать значения разных знаков (отрицательное на левом конце и положительное — на правом). Обозначив этот промежуток через [a_1,b_1] , имеем

f(a_1)<0,f(b_1)>0.

Разделим пополам промежуток [a_1,b_1] и снова отбросим тот случай, когда f(x) обращается в нуль в середине $\displaystyle {a_1+b_1\over 2}$ этого промежутка.

Обозначим через [a_2,b_2] ту из половин промежутка, для которой

f(a_2)<0,f(b_2)>0.

Продолжим процесс построения промежутков. При этом мы либо после конечного числа шагов получим точку, где функция обращается в нуль, — и доказательство теоремы завершится, — либо получим бесконечную последовательность вложенных один в другой промежутков. В этом случае для -го промежутка [a_n,b_n] $(n=1,2,3,\ldots)$ будем иметь

f(a_n)<0,f(b_n)>0,

причем длина его, очевидно, равна

$\displaystyle b_n-a_n={b-a\over 2^n}.$

Если в качестве последовательности (x_n) возьмем последовательность (a_n) левых концов построенных отрезков, а в качестве последовательности (y_n) — последовательность (b_n) правых их концов, то по лемме о вложенных промежутках получим, что существует точка $c\in[a,b]$ , для которой

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=c.$

Покажем, что эта точка удовлетворяет требованиям теоремы.

Переходя к пределу в неравенствах f(a_n)<0,f(b_n)>0, и используя при этом непрерывность функции (в частности, в точке x=c ), получим, что одновременно

$\displaystyle f(c)=\lim_{n\to\infty}f(a_n)\le0,\ f(c)=\lim_{n\to\infty}f(b_n)\ge0,$

так что, действительно, f(c)=0 .

Асимптоты

Определение. Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой функции при $x\to+\infty$ , если

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(f(x)-ax-b)=0.$

Аналогично определяется асимптота при $x\to-\infty$ .

Определение. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой функции , если существует какой-нибудь из односторонних пределов функции в точке , и он равен $+\infty$ или $-\infty$ .

Задачи.

1) Уравнение x^3+ax+1=0 имеет три вещественных корня. Докажите, что существует такое положительное число $\varepsilon$ , что для любого числа из промежутка $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ уравнение x^3+bx+1=0 имеет три вещественных корня.

2) Докажите, что следующее уравнение имеет корень:

${\rm arctg}^3x=2{\rm tg}\,x-1 .$

3) Многоугольник и прямая лежат в одной плоскости. Докажите, что существует прямая, параллельная , которая разбивает на два равновеликих многоугольника.

4) Пусть — непрерывная функция, заданная на отрезке [0;1] , все значения которой содержатся в отрезке [0;1] . Докажите, что уравнение f(x)=x имеет корень.