40. Непрерывные функции. Непрерывность рациональных и тригонометрических функций
Определение (непрерывности). Пусть функция задана на множестве
,
— точка множества
. Если
не является предельной точкой, то функция
считается непрерывной в точке
. Если
— предельная точка множества
, то функция
называется непрерывной в точке
, если существует предел функции
в точке
, который равен
:
Функция называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке из области определения.
Примеры непрерывных функций
1. Полином и дробно-рациональная функция
Функция , очевидно, непрерывна во всем промежутке
: если
, то
.
Отсюда, на основании теоремы о пределе произведения функций, вытекает непрерывность любого выражения вида
а затем и многочлена (целой рациональной функции)
Непрерывность имеет место во всем промежутке .
Очевидно, что и частное двух многочленов (дробно-рациональная функция)
также будет непрерывной при каждом значении , кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль.
2. Тригонометрические функции
Докажем сначала неравенство
В круге радиуса с центром в точке
рассмотрим острый угол
. Имеем: площадь треугольника
меньше площади сектора
. Обозначим через
радианную меру угла
, тогда
Отсюда — по сокращении на — и приходим к требуемому неравенству.
Далее, поскольку при
, то получаем неравенство, верное уже для всех значений
:
Отсюда имеем
Следовательно,
каковы бы ни были значения и
.
По теореме о предельном переходе в неравенствах имеем
а значит, и
что и доказывает непрерывность .
Отсюда следует непрерывность функций
Исключение представляют точки, в которых знаменатели обращаются в нуль.
Односторонние пределы
Определение. Пусть функция задана на множестве
,
— произвольное вещественное число. Рассмотрим множества
Пусть . Рассмотрим сужение функции
на множестве
. Если
— предельная точка множества
, то рассмотрим
Если этот предел существует, то он называется пределом функции в точке
слева и обозначается
Если — предельная точка множества
, то рассмотрим
Если этот предел существует, то он называется пределом функции в точке
справа и обозначается
Упражнение. Пусть функция задана на промежутке
,
— внутренняя точка
. Докажите, что для того чтобы у функции
существовал предел в точке
, необходимо и достаточно, чтобы у функции
существовали пределы в точке
слева и справа, и они совпадали.
Задачи.
1) Исследуйте следующие функции на непрерывность:
1.
2.
3.
2) Приведите, если это возможно, примеры функций, непрерывных
1. ровно в одной точке;
2. ровно в двух точках;
3. ровно в трех точках.
3) Найдите все значения параметров и
, такие, что данная функция
непрерывна на всей числовой оси:
1 Функция Римана | Математика, которая мне нравится:
[...] Римана является простейшим примером функции, которая непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна во всех [...]
26 Сентябрь 2012, 0:05