Математика, которая мне нравится

Определение (непрерывности). Пусть функция f задана на множестве X, a — точка множества X. Если a не является предельной точкой, то функция f считается непрерывной в точке a. Если a — предельная точка множества X, то функция f называется непрерывной в точке a, если существует предел функции f в точке a, который равен f(a):

Функция f называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке из области определения.

Примеры непрерывных функций

1. Полином и дробно-рациональная функция

Функция f(x)=x, очевидно, непрерывна во всем промежутке (-\infty,+\infty): если x_n\to a, то f(x_n)=x_n\to a=f(a).

Отсюда, на основании теоремы о пределе произведения функций, вытекает непрерывность любого выражения вида

а затем и многочлена (целой рациональной функции)

Непрерывность имеет место во всем промежутке (-\infty,+\infty).

Очевидно, что и частное двух многочленов (дробно-рациональная функция)

также будет непрерывной при каждом значении x, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль.

2. Тригонометрические функции

Докажем сначала неравенство

В круге радиуса R с центром в точке O рассмотрим острый угол AOB. Имеем: площадь треугольника AOB меньше площади сектора AOB. Обозначим через x радианную меру угла AOB, тогда

Отсюда — по сокращении на \displaystyle {1\over 2}R^2 — и приходим к требуемому неравенству.

Далее, поскольку при |x|>\pi/2>1 |\sin x|\le1, то получаем неравенство, верное уже для всех значений x:

Отсюда имеем

Следовательно,

каковы бы ни были значения x и a.

По теореме о предельном переходе в неравенствах имеем

а значит, и

что и доказывает непрерывность \sin x.

Отсюда следует непрерывность функций

Исключение представляют точки, в которых знаменатели обращаются в нуль.

Односторонние пределы

Определение. Пусть функция f задана на множестве X, a — произвольное вещественное число. Рассмотрим множества

Пусть X_1\ne\{\},X_2\ne\{\}. Рассмотрим сужение функции f на множестве X_1. Если a — предельная точка множества X_1, то рассмотрим

Если этот предел существует, то он называется пределом функции f в точке a слева и обозначается

Если a — предельная точка множества X_2, то рассмотрим

Если этот предел существует, то он называется пределом функции f в точке a справа и обозначается

Упражнение. Пусть функция f задана на промежутке X, a — внутренняя точка X. Докажите, что для того чтобы у функции f существовал предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы у функции f существовали пределы в точке a слева и справа, и они совпадали.

Задачи.

1) Исследуйте следующие функции на непрерывность:

1.

2.

3.

2) Приведите, если это возможно, примеры функций, непрерывных

1. ровно в одной точке;

2. ровно в двух точках;

3. ровно в трех точках.

3) Найдите все значения параметров a и b, такие, что данная функция f непрерывна на всей числовой оси: