Математика, которая мне нравится

Определение (непрерывности). Пусть функция задана на множестве , — точка множества . Если не является предельной точкой, то функция считается непрерывной в точке . Если — предельная точка множества , то функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в точке , который равен :

Функция называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке из области определения.

Примеры непрерывных функций

1. Полином и дробно-рациональная функция

Функция , очевидно, непрерывна во всем промежутке : если , то .

Отсюда, на основании теоремы о пределе произведения функций, вытекает непрерывность любого выражения вида

а затем и многочлена (целой рациональной функции)

Непрерывность имеет место во всем промежутке .

Очевидно, что и частное двух многочленов (дробно-рациональная функция)

также будет непрерывной при каждом значении , кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль.

2. Тригонометрические функции

Докажем сначала неравенство

В круге радиуса с центром в точке рассмотрим острый угол . Имеем: площадь треугольника меньше площади сектора . Обозначим через радианную меру угла , тогда

Отсюда — по сокращении на — и приходим к требуемому неравенству.

Далее, поскольку при , то получаем неравенство, верное уже для всех значений :

Отсюда имеем

Следовательно,

каковы бы ни были значения и .

По теореме о предельном переходе в неравенствах имеем

а значит, и

что и доказывает непрерывность .

Отсюда следует непрерывность функций

Исключение представляют точки, в которых знаменатели обращаются в нуль.

Односторонние пределы

Определение. Пусть функция задана на множестве , — произвольное вещественное число. Рассмотрим множества

Пусть . Рассмотрим сужение функции на множестве . Если — предельная точка множества , то рассмотрим

Если этот предел существует, то он называется пределом функции в точке слева и обозначается

Если — предельная точка множества , то рассмотрим

Если этот предел существует, то он называется пределом функции в точке справа и обозначается

Упражнение. Пусть функция задана на промежутке , — внутренняя точка . Докажите, что для того чтобы у функции существовал предел в точке , необходимо и достаточно, чтобы у функции существовали пределы в точке слева и справа, и они совпадали.

Задачи.

1) Исследуйте следующие функции на непрерывность:

1.

2.

3.

2) Приведите, если это возможно, примеры функций, непрерывных

1. ровно в одной точке;

2. ровно в двух точках;

3. ровно в трех точках.

3) Найдите все значения параметров и , такие, что данная функция непрерывна на всей числовой оси: