40. Непрерывные функции. Непрерывность рациональных и тригонометрических функций

Определение (непрерывности). Пусть функция f задана на множестве X, a — точка множества X. Если a не является предельной точкой, то функция f считается непрерывной в точке a. Если a — предельная точка множества X, то функция f называется непрерывной в точке a, если существует предел функции f в точке a, который равен f(a):

    \[\lim_{x\to a}f(x)=f(a) .\]

Функция f называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке из области определения.

Примеры непрерывных функций

1. Полином и дробно-рациональная функция

Функция f(x)=x, очевидно, непрерывна во всем промежутке (-\infty,+\infty): если x_n\to a, то f(x_n)=x_n\to a=f(a).

Отсюда, на основании теоремы о пределе произведения функций, вытекает непрерывность любого выражения вида

    \[cx^{m}=c\cdot\overbrace{x\cdot x\ldots x}^{m},\]

а затем и многочлена (целой рациональной функции)

    \[a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n.\]

Непрерывность имеет место во всем промежутке (-\infty,+\infty).

Очевидно, что и частное двух многочленов (дробно-рациональная функция)

    \[{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n\over b_0x^m+b_1x^{m-1}+\ldots+b_{m-1}x+b_m}\]

также будет непрерывной при каждом значении x, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль.

2. Тригонометрические функции

Докажем сначала неравенство

    \[\sin x<x\ \forall x\in(0,\pi/2) .\]

В круге радиуса R с центром в точке O рассмотрим острый угол AOB. Имеем: площадь треугольника AOB меньше площади сектора AOB. Обозначим через x радианную меру угла AOB, тогда

    \[{1\over 2}R^2\sin x<{1\over 2}R^2x.\]

Отсюда — по сокращении на \displaystyle {1\over 2}R^2 — и приходим к требуемому неравенству.

Далее, поскольку при |x|>\pi/2>1 |\sin x|\le1, то получаем неравенство, верное уже для всех значений x:

    \[|\sin x|\le |x| .\]

Отсюда имеем

    \[|\sin x-\sin a|=2\cdot\left|\sin{x-a\over 2}\right|\cdot\left|\cos{x+a\over 2}\right|\le2\cdot\left|\sin{x-a\over 2}\right|\le2\cdot{|x-a|\over 2} .\]

Следовательно,

    \[|\sin x-\sin a|\le|x-a| ,\]

каковы бы ни были значения x и a.

По теореме о предельном переходе в неравенствах имеем

    \[\lim_{x\to a}|\sin x-\sin a|=0 ,\]

а значит, и

    \[\lim_{x\to a}\sin x=\sin a ,\]

что и доказывает непрерывность \sin x.

Отсюда следует непрерывность функций

    \[\cos x,{\rm tg}\, x={\sin x\over \cos x}, {\rm ctg}\, x={\cos x\over \sin x} .\]

Исключение представляют точки, в которых знаменатели обращаются в нуль.

Односторонние пределы

Определение. Пусть функция f задана на множестве X, a — произвольное вещественное число. Рассмотрим множества

    \[X_1=X\cap(-\infty;a);\quad X_2=X\cap(a;+\infty) .\]

Пусть X_1\ne\{\},X_2\ne\{\}. Рассмотрим сужение функции f на множестве X_1. Если a — предельная точка множества X_1, то рассмотрим

    \[\lim_{x\to a}f|_{X_1} .\]

Если этот предел существует, то он называется пределом функции f в точке a слева и обозначается

    \[\lim_{x\to a-0}f(x) .\]

Если a — предельная точка множества X_2, то рассмотрим

    \[\lim_{x\to a}f|_{X_2} .\]

Если этот предел существует, то он называется пределом функции f в точке a справа и обозначается

    \[\lim_{x\to a+0}f(x) .\]

Упражнение. Пусть функция f задана на промежутке X, a — внутренняя точка X. Докажите, что для того чтобы у функции f существовал предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы у функции f существовали пределы в точке a слева и справа, и они совпадали.

Задачи.

1) Исследуйте следующие функции на непрерывность:

1. y=[x] .

2. y=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle x\sin\frac{1}{x},&x\ne0,\\ 0,&x=0 . \end{array}\right.

3.
y=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle x^2,&x\in\mathbb{Q},\\ 4x-3,&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \end{array}\right.

2) Приведите, если это возможно, примеры функций, непрерывных

1. ровно в одной точке;

2. ровно в двух точках;

3. ровно в трех точках.

3) Найдите все значения параметров a и b, такие, что данная функция f непрерывна на всей числовой оси:

    \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3x-1,&x\ge2,\\ ax+b,&0<x<2,\\ x-1,&x\le0. \end{array}\right.\]

Один комментарий

  1. 1 Функция Римана | Математика, которая мне нравится:

    [...] Римана является простейшим примером функции, которая непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна во всех [...]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение